Trojúhelník SSU
Trojúhelník má dvě řešení, strana c=74.49548974278 a c=25.50551025722
#1 Ostroúhlý různostranný trojúhelník.
Strany: a = 100 b = 90 c = 74,49548974278Obsah trojúhelníku: S = 3225,72436812409
Obvod trojúhelníku: o = 264,49548974278
Semiperimeter (poloobvod): s = 132,24774487139
Úhel ∠ A = α = 74,20768309517° = 74°12'25″ = 1,29551535276 rad
Úhel ∠ B = β = 60° = 1,04771975512 rad
Úhel ∠ C = γ = 45,79331690483° = 45°47'35″ = 0,79992415748 rad
Výška trojúhelníku: va = 64,51444736248
Výška trojúhelníku: vb = 71,6832748472
Výška trojúhelníku: vc = 86,60325403784
Těžnice: ta = 65,76327924543
Těžnice: tb = 75,82770721536
Těžnice: tc = 87,53664356386
Poloměr vepsané kružnice: r = 24,39215758876
Poloměr opsané kružnice: R = 51,96215242271
Souřadnice vrcholů: A[74,49548974278; 0] B[0; 0] C[50; 86,60325403784]
Těžiště: T[41,49882991426; 28,86875134595]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[37,24774487139; 36,23302023774]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[42,24774487139; 24,39215758876]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 105,79331690483° = 105°47'35″ = 1,29551535276 rad
∠ B' = β' = 120° = 1,04771975512 rad
∠ C' = γ' = 134,20768309517° = 134°12'25″ = 0,79992415748 rad
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Výpočet trojúhelníku probíhá ve dvou fázích. První fáze je taková, že ze vstupních parametrů se snažíme vypočítat všechny tři strany trojúhelníku. První fáze probíhá různě pro různé zadané trojúhelníky. Druhá fáze je vlastně výpočet ostatních charakteristik trojúhelníku (z již vypočtených stran, proto SSS), jako jsou úhly, plocha, obvod, výšky, těžnice, poloměry kružnic atd. Některé vstupní vstupní údaje vedou i ke dvěm až třem správným řešením trojúhelníku (např. pokud je zadaný obsah trojúhelníku a dvě strany - výsledkem je typicky ostroúhlý a tupoúhlý trojúhelník).1. Kosinová věta
a=100 b=90 β=60° b2=a2+c2−2accosβ 902=1002+c2−2⋅ 100⋅ c⋅ cos60° c2−100c+1900=0 p=1;q=−100;r=1900 D=q2−4pr=1002−4⋅1⋅1900=2400 D>0 c1,2=2p−q±D=2100±2400=50±600 c1,2=50±24,494897 c1=74,494897428 c2=25,505102572 c>0 c=74,49
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen. Dále proto výpočet je stejný a dopočítají se další jeho vlastnosti - výpočet trojúhelníku ze známých tří stran SSS.
a=100 b=90 c=74,49
2. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=100+90+74,49=264,49
3. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=2264,49=132,25
4. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=132,25(132,25−100)(132,25−90)(132,25−74,49) S=10405293,27=3225,72
5. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=1002⋅ 3225,72=64,51 vb=b2 S=902⋅ 3225,72=71,68 vc=c2 S=74,492⋅ 3225,72=86,6
6. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 90⋅ 74,49902+74,492−1002)=74°12′25" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 100⋅ 74,491002+74,492−902)=60° γ=180°−α−β=180°−74°12′25"−60°=45°47′35"
7. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=132,253225,72=24,39
8. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 24,392⋅ 132,247100⋅ 90⋅ 74,49=51,96
9. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 902+2⋅ 74,492−1002=65,763 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 74,492+2⋅ 1002−902=75,827 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 1002+2⋅ 902−74,492=87,536
#2 Tupouhlý různostranný trojúhelník.
Strany: a = 100 b = 90 c = 25,50551025722Obsah trojúhelníku: S = 1104,40333376813
Obvod trojúhelníku: o = 215,50551025722
Semiperimeter (poloobvod): s = 107,75325512861
Úhel ∠ A = α = 105,79331690483° = 105°47'35″ = 1,8466439126 rad
Úhel ∠ B = β = 60° = 1,04771975512 rad
Úhel ∠ C = γ = 14,20768309517° = 14°12'25″ = 0,24879559764 rad
Výška trojúhelníku: va = 22,08880667536
Výška trojúhelníku: vb = 24,54222963929
Výška trojúhelníku: vc = 86,60325403784
Těžnice: ta = 43,30442160604
Těžnice: tb = 57,4487847032
Těžnice: tc = 94,27328616077
Poloměr vepsané kružnice: r = 10,24994402638
Poloměr opsané kružnice: R = 51,96215242271
Souřadnice vrcholů: A[25,50551025722; 0] B[0; 0] C[50; 86,60325403784]
Těžiště: T[25,16883675241; 28,86875134595]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[12,75325512861; 50,37223380011]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[17,75325512861; 10,24994402638]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 74,20768309517° = 74°12'25″ = 1,8466439126 rad
∠ B' = β' = 120° = 1,04771975512 rad
∠ C' = γ' = 165,79331690483° = 165°47'35″ = 0,24879559764 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Výpočet trojúhelníku probíhá ve dvou fázích. První fáze je taková, že ze vstupních parametrů se snažíme vypočítat všechny tři strany trojúhelníku. První fáze probíhá různě pro různé zadané trojúhelníky. Druhá fáze je vlastně výpočet ostatních charakteristik trojúhelníku (z již vypočtených stran, proto SSS), jako jsou úhly, plocha, obvod, výšky, těžnice, poloměry kružnic atd. Některé vstupní vstupní údaje vedou i ke dvěm až třem správným řešením trojúhelníku (např. pokud je zadaný obsah trojúhelníku a dvě strany - výsledkem je typicky ostroúhlý a tupoúhlý trojúhelník).1. Kosinová věta
a=100 b=90 β=60° b2=a2+c2−2accosβ 902=1002+c2−2⋅ 100⋅ c⋅ cos60° c2−100c+1900=0 p=1;q=−100;r=1900 D=q2−4pr=1002−4⋅1⋅1900=2400 D>0 c1,2=2p−q±D=2100±2400=50±600 c1,2=50±24,494897 c1=74,494897428 c2=25,505102572 c>0 c=74,49
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen. Dále proto výpočet je stejný a dopočítají se další jeho vlastnosti - výpočet trojúhelníku ze známých tří stran SSS.
a=100 b=90 c=25,51
2. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=100+90+25,51=215,51
3. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=2215,51=107,75
4. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=107,75(107,75−100)(107,75−90)(107,75−25,51) S=1219706,73=1104,4
5. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=1002⋅ 1104,4=22,09 vb=b2 S=902⋅ 1104,4=24,54 vc=c2 S=25,512⋅ 1104,4=86,6
6. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 90⋅ 25,51902+25,512−1002)=105°47′35" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 100⋅ 25,511002+25,512−902)=60° γ=180°−α−β=180°−105°47′35"−60°=14°12′25"
7. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=107,751104,4=10,25
8. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 10,249⋅ 107,753100⋅ 90⋅ 25,51=51,96
9. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 902+2⋅ 25,512−1002=43,304 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 25,512+2⋅ 1002−902=57,448 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 1002+2⋅ 902−25,512=94,273
Vypočítat další trojúhelník