Trojúhelník 102 60 119.94
Tupouhlý různostranný trojúhelník.
Strany: a = 102 b = 60 c = 119,94Obsah trojúhelníku: S = 3058,51224927453
Obvod trojúhelníku: o = 281,94
Semiperimeter (poloobvod): s = 140,97
Úhel ∠ A = α = 58,21329538663° = 58°12'47″ = 1,01660077123 rad
Úhel ∠ B = β = 300,0004595932° = 30°2″ = 0,5243606797 rad
Úhel ∠ C = γ = 91,78765865405° = 91°47'12″ = 1,60219781443 rad
Výška trojúhelníku: va = 59,97108331911
Výška trojúhelníku: vb = 101,95504164248
Výška trojúhelníku: vc = 51,00107085667
Těžnice: ta = 79,94987448307
Těžnice: tb = 107,21438134757
Těžnice: tc = 58,35875110847
Poloměr vepsané kružnice: r = 21,69661941743
Poloměr opsané kružnice: R = 59,99991664037
Souřadnice vrcholů: A[119,94; 0] B[0; 0] C[88,3344182091; 51,00107085667]
Těžiště: T[69,42547273637; 177,0002361889]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[59,97; -1,87105798935]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[80,97; 21,69661941743]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 121,78770461337° = 121°47'13″ = 1,01660077123 rad
∠ B' = β' = 1509,9995404068° = 149°59'58″ = 0,5243606797 rad
∠ C' = γ' = 88,21334134595° = 88°12'48″ = 1,60219781443 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=102 b=60 c=119,94
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=102+60+119,94=281,94
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=2281,94=140,97
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=140,97(140,97−102)(140,97−60)(140,97−119,94) S=9354498,67=3058,51
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=1022⋅ 3058,51=59,97 vb=b2 S=602⋅ 3058,51=101,95 vc=c2 S=119,942⋅ 3058,51=51
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 60⋅ 119,94602+119,942−1022)=58°12′47" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 102⋅ 119,941022+119,942−602)=30°2" γ=180°−α−β=180°−58°12′47"−30°2"=91°47′12"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=140,973058,51=21,7
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 21,696⋅ 140,97102⋅ 60⋅ 119,94=60
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 602+2⋅ 119,942−1022=79,949 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 119,942+2⋅ 1022−602=107,214 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 1022+2⋅ 602−119,942=58,358
Vypočítat další trojúhelník