Trojúhelník

Zadané strany a, c a úhel α.

Trojúhelník má dvě řešení: a=3.4; b=3.19441125497; c=4.8 a a=3.4; b=3.59441125497; c=4.8.

#1 Tupouhlý různostranný trojúhelník.

Strany: a = 3,4 b = 3,19441125497 c = 4,8

Obsah trojúhelníku: S = 5,4210588745
Obvod trojúhelníku: o = 11,39441125497
Semiperimeter (poloobvod): s = 5,69770562748

Úhel ∠ A = α = 45° = 0,78553981634 rad
Úhel ∠ B = β = 41,62877133166° = 41°37'40″ = 0,72765406575 rad
Úhel ∠ C = γ = 93,37222866834° = 93°22'20″ = 1,63296538327 rad

Výška trojúhelníku: v_a = 3,18985816147
Výška trojúhelníku: v_b = 3,39441125497
Výška trojúhelníku: v_c = 2,25985786438

Těžnice: t_a = 3,70655603476
Těžnice: t_b = 3,84404962251
Těžnice: t_c = 2,26330018758

Poloměr vepsané kružnice: r = 0,95114718626
Poloměr opsané kružnice: R = 2,4044163056

Souřadnice vrcholů: A[4,8; 0] B[0; 0] C[2,54114213562; 2,25985786438]
Těžiště: T[2,44771404521; 0,75328595479]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[2,4; -0,14114213562]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[2,50329437252; 0,95114718626]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 135° = 0,78553981634 rad
∠ B' = β' = 138,37222866834° = 138°22'20″ = 0,72765406575 rad
∠ C' = γ' = 86,62877133166° = 86°37'40″ = 1,63296538327 rad

Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?

Výpočet trojúhelníku probíhá ve dvou fázích. První fáze je taková, že ze vstupních parametrů se snažíme vypočítat všechny tři strany trojúhelníku. První fáze probíhá různě pro různé zadané trojúhelníky. Druhá fáze je vlastně výpočet ostatních charakteristik trojúhelníku (z již vypočtených stran, proto SSS), jako jsou úhly, plocha, obvod, výšky, těžnice, poloměry kružnic atd. Některé vstupní vstupní údaje vedou i ke dvěm až třem správným řešením trojúhelníku (např. pokud je zadaný obsah trojúhelníku a dvě strany - výsledkem je typicky ostroúhlý a tupoúhlý trojúhelník).

1. Zadané vstupní údaje: strany a, c a úhel α.

a = 3, 4 c = 4, 8 α = 45 °

2. Z úhlu α, strany c a strany a vypočítáme stranu b - použitím kosinové věty a vzniklé kvadratické rovnice:

a^{2} = c^{2} + b^{2} - 2 c b cos α 3, 4^{2} = 4, 8^{2} + b^{2} - 2 \cdot 4, 8 \cdot b \cdot cos 45 ° b^{2} - 6, 788 b + 11, 48 = 0 p = 1; q = - 6, 788; r = 11, 48 D = q^{2} - 4 p r = 6, 78 8^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 11, 48 = 0, 16 D > 0 b_{1, 2} = \frac{- q \pm D}{2 p} = \frac{6 , 7 9 \pm 0 , 1 6}{2} b_{1, 2} = 3, 394113 \pm 0, 2 b_{1} = 3, 59411255 b_{2} = 3, 19411255 b > 0 b = 3, 594

Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen. Dále proto výpočet je stejný a dopočítají se další jeho vlastnosti - výpočet trojúhelníku ze známých tří stran SSS.

a = 3, 4 b = 3, 19 c = 4, 8

3. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran

o = a + b + c = 3, 4 + 3, 19 + 4, 8 = 11, 39

4. Poloviční obvod trojúhelníku

Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{1 1 , 3 9}{2} = 5, 7

5. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce

Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 5, 7 (5, 7 - 3, 4) (5, 7 - 3, 19) (5, 7 - 4, 8) S = 29, 38 = 5, 42

6. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.

Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 5 , 4 2}{3 , 4} = 3, 19 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 5 , 4 2}{3 , 1 9} = 3, 39 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 5 , 4 2}{4 , 8} = 2, 26

7. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty

Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{3 , 1 9 ^{2} + 4 , 8 ^{2} - 3 , 4 ^{2}}{2 \cdot 3 , 1 9 \cdot 4 , 8}) = 45 ° b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{3 , 4 ^{2} + 4 , 8 ^{2} - 3 , 1 9 ^{2}}{2 \cdot 3 , 4 \cdot 4 , 8}) = 41 ° 3 7^{'} 40 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 45 ° - 41 ° 3 7^{'} 40 " = 93 ° 2 2^{'} 20 "

8. Poloměr vepsané kružnice

Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{5 , 4 2}{5 , 7} = 0, 95

9. Poloměr opsané kružnice

Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{3 , 4 \cdot 3 , 1 9 \cdot 4 , 8}{4 \cdot 0 , 9 5 1 \cdot 5 , 6 9 7} = 2, 4

10. Výpočet těžnic

Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 3 , 1 9 ^{2} + 2 \cdot 4 , 8 ^{2} - 3 , 4 ^{2}}{2} = 3, 706 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 4 , 8 ^{2} + 2 \cdot 3 , 4 ^{2} - 3 , 1 9 ^{2}}{2} = 3, 84 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 3 , 4 ^{2} + 2 \cdot 3 , 1 9 ^{2} - 4 , 8 ^{2}}{2} = 2, 263

#2 Ostroúhlý různostranný trojúhelník.

Strany: a = 3,4 b = 3,59441125497 c = 4,8

Obsah trojúhelníku: S = 6,0999411255
Obvod trojúhelníku: o = 11,79441125497
Semiperimeter (poloobvod): s = 5,89770562748

Úhel ∠ A = α = 45° = 0,78553981634 rad
Úhel ∠ B = β = 48,37222866834° = 48°22'20″ = 0,84442556693 rad
Úhel ∠ C = γ = 86,62877133166° = 86°37'40″ = 1,51219388208 rad

Výška trojúhelníku: v_a = 3,58878889735
Výška trojúhelníku: v_b = 3,39441125497
Výška trojúhelníku: v_c = 2,54114213562

Těžnice: t_a = 3,88444333576
Těžnice: t_b = 3,75110783443
Těžnice: t_c = 2,54553531209

Poloměr vepsané kružnice: r = 1,03443145751
Poloměr opsané kružnice: R = 2,4044163056

Souřadnice vrcholů: A[4,8; 0] B[0; 0] C[2,25985786438; 2,54114213562]
Těžiště: T[2,35328595479; 0,84771404521]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[2,4; 0,14114213562]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[2,30329437252; 1,03443145751]

Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 135° = 0,78553981634 rad
∠ B' = β' = 131,62877133166° = 131°37'40″ = 0,84442556693 rad
∠ C' = γ' = 93,37222866834° = 93°22'20″ = 1,51219388208 rad

Vypočítat další trojúhelník