Betka
Betka si myslela přirozené číslo s navzájem různými ciframi a napsala ho na tabuli. Pod něj zapsala cifry původního čísla odzadu a tak získala nové číslo. Sečtením těchto dvou čísel dostala číslo, které mělo stejný počet cifer jako myšleny číslo a skládalo se pouze z číslic myšleného čísla (avšak nemuselo obsahovat všechny jeho cifry). Erice se Betkino číslo zalíbilo a chtěla najít jiné číslo se stejnými vlastnostmi. Zjistila, že neexistuje menší takové číslo jako Betkino a větší se jí hledat nechtělo. Určete, jaké číslo si myslela Bětka a jaké číslo by mohla najít Erika, kdyby měla více trpělivosti.
Správná odpověď:
Zobrazuji 8 komentářů:
Peter2
Nápověda. Zvažujte postupně možnosti, kdy je myšlené číslo jednomístné, dvojmístné atd. V jednotlivých případech přemýšlejte postupně nad možnými součty na místě jednotek, desítek atd.
Možné řešení. Nejprve najdeme Bětčino číslo, tj. nejmenší číslo s uvedenými vlastnostmi.
1) Předpokládejme, že Bětčino číslo je jednomístné, a označíme si je a. Potom by podle zadání muselo platit a + a = a, což platí pouze když a = 0. Nula však není přirozené číslo, takže Bětčino myšlené číslo nemůže být jednomístné.
2) Předpokládejme, že Bětčino číslo je dvojmístné, a označíme si je ab. Ať už součet ab + ba dopadne jakkoli, na místě jednotek čteme buď b + a = a, nebo b + a = b. Odtud dostáváme buď b = 0, nebo a = 0. V takovém případě by však buď číslo ba, nebo číslo ab nebylo dvojmístné. Bětčino myšlené číslo tedy nemůže být dvojmístné.
3) Předpokládejme, že Bětčino číslo je trojmístné, a označíme si je abc. Ze stejného důvodu jako výše nemohou být čísla a a c nuly, tedy v součtu abc+cba se na místě jednotek může objevit jedině b:
a b c
c b a
____
∗ ∗ b
Současně c + a nemůže být větší než 9, protože potom by celkový součet abc + cba nebyl trojmístný. Odtud se dozvídáme, že
a + c = b
což mimo jiné znamená, že ani číslice b nemůže být 0. Odtud plyne, že součet b + b na místě desítek nemůže být menší než 10; v takovém případě by tento součet byl roven jednomu z čísel a, b, c, což vždy vede k nějakému sporu s předchozími poznatky:
Pokud b + b = a nebo b + b = c, potom podle (1) dostáváme 2a + 2c = a nebo 2a + 2c = c, tedy a = −2c nebo c = −2a, což není možné.
• Pokud b + b = b, potom b = 0, což není možné.
Součet b + b na místě desítek však nemůže být ani větší než 9. V takovém případě by součet na místě stovek byl a + c + 1 a toto číslo má být rovno jednomu z čísel a, b, c; to vždy vede k nějakému sporu:
• Pokud a + c + 1 = a nebo a + c + 1 = c, potom c = −1 nebo a = −1, což není možné.
• Pokud a+c+ 1 = b, potom podle (1) dostáváme b+ 1 = b, tedy 1 = 0, což není možné.
Bětčino myšlené číslo tedy nemůže být ani trojmístné.
4) Předpokládejme, že Bětčino číslo je čtyřmístné, a označíme si je abcd. Ze stejného důvodu jako výše nemohou být čísla a a d nuly, tedy v součtu abcd + dcba se na místě jednotek může objevit buď b, nebo c:
a b c d
d c b a
----------
∗ ∗ ∗ b
a b c d
d c b a
----------
∗ ∗ ∗ c
Současně d + a nemůže být větší než 9, protože potom by celkový součet abcd + dcba nebyl čtyřmístný. Odtud se dozvídáme, že
buď a + d = b, (dale jen 2)
nebo a + d = c. (dale jen 3)
To mimo jiné znamená, že buď b <> 0, nebo c <> 0.
Nyní předpokládáme, že součet c+b na místě desítek je menší než 10, tzn. tento součet je roven jednomu z čísel a, b, c, d, a prozkoumáme jednotlivé případy. Nejprve uvažujme platnost (2), a tedy b <> 0:
• Pokud b + c = a nebo b + c = d, potom podle (2) dostáváme a + d + c = a nebo a + d + c = d, tedy c = −d nebo c = −a, což není možné.
• Pokud b + c = b, potom c = 0 (což ničemu nevadí).
• Pokud b + c = c, potom b = 0, což není možné.
Podobně, za předpokladu (3) zjistíme, že jediná přípustná možnost je
• b + c = c, tedy b = 0
Celkem tak objevujeme dva možné případy:
a b 0 d
d 0 b a
----------
b b b b
a 0 c d
d c 0 a
----------
c c c c
Protože Bětčino číslo je nejmenší číslo vyhovující všem uvedeným podmínkám, vůbec se nemusíme zabývat případem, kdy součet c + b je větší než 9, a soustředíme se výhradně na druhou z výše jmenovaných možností, tj. b = 0. Dosadíme nejmenší možné číslo na místo tisícovek a = 1 a zjišťujeme, že c = d + 1. Nejmenší vyhovující možnost je d = 2 a c = 3. Bětka si tedy hrála s číslem 1032 a její výpočet vypadal takto:
1 0 3 2
2 3 0 1
----------
3 3 3 3
Z výše uvedeného je nyní snadné doplnit nějaké jiné číslo s uvedenými vlastnostmi, tedy nějaké Eričino číslo. Např. stačí v Bětčině čísle zaměnit číslice na místě jednotek a tisícovek nebo číslice na místě desítek a stovek, příp. uvažovat jakákoli čísla tvaru (4). Mezi možnými řešeními jsou také čísla, kdy součet c+b je větší než 9. Zde je několik řešení, na která mohla Erika přijít, kdyby ovšem nebyla tak netrpělivá:
1 0 4 3
3 4 0 1
----------
4 4 4 4
1 3 0 2
2 0 3 1
----------
3 3 3 3
1 8 9 7
7 9 8 1
----------
9 8 7 8
Poznámky. a) Pokud umíme zdůvodnit, že hledané Bětčino číslo musí být aspoň čtyřmístné, potom je lze snadno najít zkoušením:
Nejmenší čtyřmístné číslo s navzájem různými číslicemi je 1023. Toto číslo však není řešením, neboť 1023 + 3201 = 4224. Pokud nás napadne prohodit číslice 2 a 3, dostaneme vyhovující řešení: 1032 + 2301 = 3333. Abychom se přesvědčili, že toto řešení je nejmenší možné, stačí ověřit, že žádné číslo mezi 1023 a 1032 nevyhovuje některé z uvedených podmínek.
b) Nahrazení ostatních úvah zkoušením je také možné, avšak často velmi pracné. Nicméně pokud je řešení založené na zkoušení úplné, nechť je považováno za správné.
Jakékoli dílčí obecné postřehy mohou počet možností k prozkoušení zajímavě snižovat (např. počet trojic různých čísel od 1 do 9 vyhovujících rovnosti (1) jistě není větší než 32.
Možné řešení. Nejprve najdeme Bětčino číslo, tj. nejmenší číslo s uvedenými vlastnostmi.
1) Předpokládejme, že Bětčino číslo je jednomístné, a označíme si je a. Potom by podle zadání muselo platit a + a = a, což platí pouze když a = 0. Nula však není přirozené číslo, takže Bětčino myšlené číslo nemůže být jednomístné.
2) Předpokládejme, že Bětčino číslo je dvojmístné, a označíme si je ab. Ať už součet ab + ba dopadne jakkoli, na místě jednotek čteme buď b + a = a, nebo b + a = b. Odtud dostáváme buď b = 0, nebo a = 0. V takovém případě by však buď číslo ba, nebo číslo ab nebylo dvojmístné. Bětčino myšlené číslo tedy nemůže být dvojmístné.
3) Předpokládejme, že Bětčino číslo je trojmístné, a označíme si je abc. Ze stejného důvodu jako výše nemohou být čísla a a c nuly, tedy v součtu abc+cba se na místě jednotek může objevit jedině b:
a b c
c b a
____
∗ ∗ b
Současně c + a nemůže být větší než 9, protože potom by celkový součet abc + cba nebyl trojmístný. Odtud se dozvídáme, že
a + c = b
což mimo jiné znamená, že ani číslice b nemůže být 0. Odtud plyne, že součet b + b na místě desítek nemůže být menší než 10; v takovém případě by tento součet byl roven jednomu z čísel a, b, c, což vždy vede k nějakému sporu s předchozími poznatky:
Pokud b + b = a nebo b + b = c, potom podle (1) dostáváme 2a + 2c = a nebo 2a + 2c = c, tedy a = −2c nebo c = −2a, což není možné.
• Pokud b + b = b, potom b = 0, což není možné.
Součet b + b na místě desítek však nemůže být ani větší než 9. V takovém případě by součet na místě stovek byl a + c + 1 a toto číslo má být rovno jednomu z čísel a, b, c; to vždy vede k nějakému sporu:
• Pokud a + c + 1 = a nebo a + c + 1 = c, potom c = −1 nebo a = −1, což není možné.
• Pokud a+c+ 1 = b, potom podle (1) dostáváme b+ 1 = b, tedy 1 = 0, což není možné.
Bětčino myšlené číslo tedy nemůže být ani trojmístné.
4) Předpokládejme, že Bětčino číslo je čtyřmístné, a označíme si je abcd. Ze stejného důvodu jako výše nemohou být čísla a a d nuly, tedy v součtu abcd + dcba se na místě jednotek může objevit buď b, nebo c:
a b c d
d c b a
----------
∗ ∗ ∗ b
a b c d
d c b a
----------
∗ ∗ ∗ c
Současně d + a nemůže být větší než 9, protože potom by celkový součet abcd + dcba nebyl čtyřmístný. Odtud se dozvídáme, že
buď a + d = b, (dale jen 2)
nebo a + d = c. (dale jen 3)
To mimo jiné znamená, že buď b <> 0, nebo c <> 0.
Nyní předpokládáme, že součet c+b na místě desítek je menší než 10, tzn. tento součet je roven jednomu z čísel a, b, c, d, a prozkoumáme jednotlivé případy. Nejprve uvažujme platnost (2), a tedy b <> 0:
• Pokud b + c = a nebo b + c = d, potom podle (2) dostáváme a + d + c = a nebo a + d + c = d, tedy c = −d nebo c = −a, což není možné.
• Pokud b + c = b, potom c = 0 (což ničemu nevadí).
• Pokud b + c = c, potom b = 0, což není možné.
Podobně, za předpokladu (3) zjistíme, že jediná přípustná možnost je
• b + c = c, tedy b = 0
Celkem tak objevujeme dva možné případy:
a b 0 d
d 0 b a
----------
b b b b
a 0 c d
d c 0 a
----------
c c c c
Protože Bětčino číslo je nejmenší číslo vyhovující všem uvedeným podmínkám, vůbec se nemusíme zabývat případem, kdy součet c + b je větší než 9, a soustředíme se výhradně na druhou z výše jmenovaných možností, tj. b = 0. Dosadíme nejmenší možné číslo na místo tisícovek a = 1 a zjišťujeme, že c = d + 1. Nejmenší vyhovující možnost je d = 2 a c = 3. Bětka si tedy hrála s číslem 1032 a její výpočet vypadal takto:
1 0 3 2
2 3 0 1
----------
3 3 3 3
Z výše uvedeného je nyní snadné doplnit nějaké jiné číslo s uvedenými vlastnostmi, tedy nějaké Eričino číslo. Např. stačí v Bětčině čísle zaměnit číslice na místě jednotek a tisícovek nebo číslice na místě desítek a stovek, příp. uvažovat jakákoli čísla tvaru (4). Mezi možnými řešeními jsou také čísla, kdy součet c+b je větší než 9. Zde je několik řešení, na která mohla Erika přijít, kdyby ovšem nebyla tak netrpělivá:
1 0 4 3
3 4 0 1
----------
4 4 4 4
1 3 0 2
2 0 3 1
----------
3 3 3 3
1 8 9 7
7 9 8 1
----------
9 8 7 8
Poznámky. a) Pokud umíme zdůvodnit, že hledané Bětčino číslo musí být aspoň čtyřmístné, potom je lze snadno najít zkoušením:
Nejmenší čtyřmístné číslo s navzájem různými číslicemi je 1023. Toto číslo však není řešením, neboť 1023 + 3201 = 4224. Pokud nás napadne prohodit číslice 2 a 3, dostaneme vyhovující řešení: 1032 + 2301 = 3333. Abychom se přesvědčili, že toto řešení je nejmenší možné, stačí ověřit, že žádné číslo mezi 1023 a 1032 nevyhovuje některé z uvedených podmínek.
b) Nahrazení ostatních úvah zkoušením je také možné, avšak často velmi pracné. Nicméně pokud je řešení založené na zkoušení úplné, nechť je považováno za správné.
Jakékoli dílčí obecné postřehy mohou počet možností k prozkoušení zajímavě snižovat (např. počet trojic různých čísel od 1 do 9 vyhovujících rovnosti (1) jistě není větší než 32.
8 let 2 Likes
žák01
Proč to nemůže být například 10?
10 + 01 = 11
To stejné platí pro všechny násobky deseti až do devadesáti.
10 + 01 = 11
To stejné platí pro všechny násobky deseti až do devadesáti.
Mik
K nápovědě Peter2 - bod 2 dvojmístné číslo, "Předpokládejme, že Bětčino číslo je dvojmístné, a označíme si je ab. Ať už součet ab + ba dopadne jakkoli, na místě jednotek čteme buď b + a = a, nebo b + a = b. Odtud dostáváme buď b = 0, nebo a = 0. V takovém případě by však buď číslo ba, nebo číslo ab nebylo dvojmístné"
To je sice pravda, ale v zadání není napsáno, že zadáním čísel odzadu má vzniknout opět číslo se stejným počtem míst ("Pod něj zapsala cifry původního čísla odzadu a tak získala nové číslo")
Řekl bych tedy, že násobky deseti do devadesáti mohou být řešením.
To je sice pravda, ale v zadání není napsáno, že zadáním čísel odzadu má vzniknout opět číslo se stejným počtem míst ("Pod něj zapsala cifry původního čísla odzadu a tak získala nové číslo")
Řekl bych tedy, že násobky deseti do devadesáti mohou být řešením.
K vyřešení této úlohy jsou potřebné tyto znalosti z matematiky:
Téma:
Úroveň náročnosti úkolu:
Související a podobné příklady:
- Denní 3
Denní produkce podniku byla 240 výrobků. Oč se zvýšila, jestliže produktivita práce vzrostla o 25 %? - V důsledku
V důsledku zvýšení produktivity práce o 15% začal podnik vyrábět 920 výrobků za měsíc. Kolik výrobků vyráběl měsíčně předtím? - Těžítko 3
Těžítko ze skla má tvar pravidelného čtyřbokého jehlanu o hraně podstavy 10cm. Stěny pláště jsou rovnostranné trojúhelníky. Jakou hmotnost v gramech má těžítko, jestliže hustota skla je 2500kg/m³? - Produkce
Měsíční produkce podniku se zvýšila z 352 výrobků na 528 výrobků. O kolik procent tedy původní měsíční produkce vzrostla? - Úhlopříčkou 3
Úhlopříčkou řezu DBFH pravidelného čtyřbokého hranolu ABCDEFGH je vepsán kruh o průměru 8 cm. Jaký je objem hranolu. - Peleton
Při cyklistických závodech jede peleton průměrnou rychlostí 36 km/h. Opravovou defektu se jeden závodník zdržel 5 minut. O kolik kilometrů za hodinu byla pak jeho rychlost větší než rychlost peletonu když ho dostihl za 20 minut? Jak dlouho by mu trvalo kd - Ovoce 7
Cena 6 kg hrušek je o 77 Kč vyšší než cena 5 kg jablek. Cena 6 kg jablek je stejná jako cena 5 kg hrušek. Kolik stojí 2 kg jablek? - Evelína 2
Evelína zryje zahradu za 4 hodiny. Její kamarádka Doubravka to zvládne za tři hodiny. Evelína začala pracovat ve 13 hodin a hodinu později se k ní přidala Doubravka, aby se spolu mohly jít koupat. Vypočítejte, v kolik hodin budou moci dívky odejít na koup - Rovnice 47
Rovnice se zlomkama: 3y - y+3/4 = 1+y/2 - Vykrátiť 2
Vyhodnotťe nasledovný výraz s faktoriálmi: (45!-44!)/(44!) - Krize
Firma během krize propouštěla zaměstnance, takže jich měla na konci krize o 40 % méně než před krizí. Když firma po odeznění krize přijala 42 nových zaměstnanců, měla jich o 25 % více než na konci krize. Kolik zaměstnanců měla firma před krizí? - Trojúhelníku 83261
Vypočítejte obsah trojúhelníku ABC, ve kterém znáte stranu c=5 cm, úhel při vrcholu A= 70 stupňů a poměr úseků, které vytíná výška na stranu c je 1:3 - Krychle 50
Krychle ABCDEFGH má hranu délky 3 cm. Vypočítejte objem jehlanu ABCDH. - Rovnoramenném 83247
Vypočítejte délky stran v rovnoramenném trojúhelníku, je-li dána výška (na základnu) Vc= 8,8cm a úhel u základny alfa= 38°40`. - Osový řez válce
Osovým řezem válce je čtverec o obsahu 56,25 cm². Vypočítejte jeho povrch a objem. Výsledek vyjádřete ve čtverečných decimetrech a v krychlových decimetrech a zaokrouhlete na setiny. - V trojúhelníku 9
V trojúhelníku ABC je velikost vnitřního úhlu beta dvojnásobkem velikosti úhlu alfa a velikosti úhlu gama je o 20 stupňů menší než velikost úhlu beta. Urči velikost všech vnitřních úhlů tohoto trojúhelníku. - Košíkář
Košíkář prodal během prvních dvou dnů velikonoční trhu všechny upletene pomlazky, první den prodal pětinu všech pomlázek. Druhy den prodal o 180 pomlazek více než první den. Kolik pomlazek prodal kosikar první den velikonočních trhu?