Užasné číslo
Užasným číslem nazveme takové sudé číslo, jehož rozklad na součin prvočísel má právě tři ne nutně různé činitele a součet všech jeho dělitelů je roven dvojnásobku tohoto čísla. Najděte všechna užasná čísla.
Správná odpověď:
Zobrazuji 7 komentářů:
Petr
To zduvodneni nas zajima taky; ide najma o to ze "součet všech jeho dělitelů" zvycejne pro velke cisla n presahne hodnotu 2n. Vezmime prvocislo. To ma soucet delitelu n+1 (ma presne 2 delitele, n a 1). Cislo n ktere ma 3 delitele a,b,c, ma soucet delitelu minimalne n+1+a+b+c+ab+ac+bc > 2n :D Ale exaktne to zduvodnit nevim a cekame ze nekto moudrejsi nam to dopovi ako to je...
Kvak
Nápověda. Kolik nejvíce dělitelů může mít číslo, které je součinem tří ne nutně různýchprvočísel?
Možné řešení. Protože úžasné číslo je sudé, alespoň jeden z jeho prvočíselných dělitelůje 2; zbylé dva prvočíselné dělitele označíme b a c. Úžasné číslo je tedy rovno součinu 2bc.Všichni dělitelé takového čísla jsou 1, 2, b, c, 2b, 2c, bc, 2bc, přičemž některá z těchtočísel se mohou rovnat. Postupně probereme všechny možnosti podle počtu a typu různých prvočíselných dělitelů.
a) Předpokládejme, že všichni prvočíselní dělitelé jsou stejní, tedy b = c = 2. V takovém případě by úžasné číslo bylo 8 a všichni jeho dělitelé by byli 1, 2, 4, 8. Součet všech dělitelů by byl 15, což není dvojnásobek čísla 8. Případ b = c = 2 tedy není možný.
b) Předpokládejme, že dva prvočíselní dělitelé jsou rovni 2, tedy b = 2. V takovém případě by úžasné číslo bylo 4c a všichni jeho dělitelé by byli 1, 2, c, 4, 2c, 4c. Součet všechdělitelů by byl 7 + 7c a podle zadání má platit7+7c = 8c.To platí právě tehdy, když c = 7; odpovídající úžasné číslo je 4c = 28.
c) Předpokládejme, že dva prvočíselní dělitelé jsou stejní, ovšem oba různí od 2, tedyb = c = 2. V takovém případě by úžasné číslo bylo 2b2 a všichni jeho dělitelé by byli 1, 2,b, 2b, b2, 2b2. Součet všech dělitelů by byl 3 + 3b + 3b2 a podle zadání má platit 3+3b + 3b2 = 4b2, 3(1 + b) = b2. Číslo nalevo je násobkem čísla 3, tedy číslo napravo má také být násobkem 3. Vzhledemk tomu, že b je prvočíslo, muselo by být b = 3. V takovém případě by však nalevo bylo 3 · 4 = 12, zatímco napravo 3x2 = 9. Případ b = c = 2 tedy není možný.
d) Předpokládejme, že prvočíselní dělitelé jsou navzájem různí, tedy 2 = b = c = 2. V takovém případě by úžasné číslo bylo 2bc a všichni jeho dělitelé by byli 1, 2, b, c, 2b, 2c,bc, 2bc. Součet všech dělitelů by byl 3 + 3b + 3c + 3bc a podle zadání má platit
3+3b + 3c + 3bc = 4bc,3(1 + b + c) = bc.
Číslo nalevo je násobkem čísla 3, tedy číslo napravo má také být násobkem 3. Vzhledemk tomu, že b a c jsou prvočísla, muselo by být buď b = 3, nebo c = 3. Pro b = 3 by předchozí rovnost vypadala takto 3 · (4 + c)=3c, což ovšem neplatí pro žádné c. Diskuse pro c = 3je obdobná. Případ b = c = 2 tedy není možný.
Jediné úžasné číslo je 28.
Možné řešení. Protože úžasné číslo je sudé, alespoň jeden z jeho prvočíselných dělitelůje 2; zbylé dva prvočíselné dělitele označíme b a c. Úžasné číslo je tedy rovno součinu 2bc.Všichni dělitelé takového čísla jsou 1, 2, b, c, 2b, 2c, bc, 2bc, přičemž některá z těchtočísel se mohou rovnat. Postupně probereme všechny možnosti podle počtu a typu různých prvočíselných dělitelů.
a) Předpokládejme, že všichni prvočíselní dělitelé jsou stejní, tedy b = c = 2. V takovém případě by úžasné číslo bylo 8 a všichni jeho dělitelé by byli 1, 2, 4, 8. Součet všech dělitelů by byl 15, což není dvojnásobek čísla 8. Případ b = c = 2 tedy není možný.
b) Předpokládejme, že dva prvočíselní dělitelé jsou rovni 2, tedy b = 2. V takovém případě by úžasné číslo bylo 4c a všichni jeho dělitelé by byli 1, 2, c, 4, 2c, 4c. Součet všechdělitelů by byl 7 + 7c a podle zadání má platit7+7c = 8c.To platí právě tehdy, když c = 7; odpovídající úžasné číslo je 4c = 28.
c) Předpokládejme, že dva prvočíselní dělitelé jsou stejní, ovšem oba různí od 2, tedyb = c = 2. V takovém případě by úžasné číslo bylo 2b2 a všichni jeho dělitelé by byli 1, 2,b, 2b, b2, 2b2. Součet všech dělitelů by byl 3 + 3b + 3b2 a podle zadání má platit 3+3b + 3b2 = 4b2, 3(1 + b) = b2. Číslo nalevo je násobkem čísla 3, tedy číslo napravo má také být násobkem 3. Vzhledemk tomu, že b je prvočíslo, muselo by být b = 3. V takovém případě by však nalevo bylo 3 · 4 = 12, zatímco napravo 3x2 = 9. Případ b = c = 2 tedy není možný.
d) Předpokládejme, že prvočíselní dělitelé jsou navzájem různí, tedy 2 = b = c = 2. V takovém případě by úžasné číslo bylo 2bc a všichni jeho dělitelé by byli 1, 2, b, c, 2b, 2c,bc, 2bc. Součet všech dělitelů by byl 3 + 3b + 3c + 3bc a podle zadání má platit
3+3b + 3c + 3bc = 4bc,3(1 + b + c) = bc.
Číslo nalevo je násobkem čísla 3, tedy číslo napravo má také být násobkem 3. Vzhledemk tomu, že b a c jsou prvočísla, muselo by být buď b = 3, nebo c = 3. Pro b = 3 by předchozí rovnost vypadala takto 3 · (4 + c)=3c, což ovšem neplatí pro žádné c. Diskuse pro c = 3je obdobná. Případ b = c = 2 tedy není možný.
Jediné úžasné číslo je 28.
Dominikbnp
Vždyť ze zadání je zřejmé, že hledáme dokonalá čísla. A je dávno známa věta, v jakém tvaru musí být všechna (sudá) dokonalá čísla. Z toho to plyne hned.
K vyřešení této úlohy jsou potřebné tyto znalosti z matematiky:
Téma:
Úroveň náročnosti úkolu:
Související a podobné příklady:
- Číslo 40
Číslo 112 rozděl na tři složky x, y, z tak, aby platilo x : y = 7 : 5 a y : z = 3 : 4. - Těžítko 3
Těžítko ze skla má tvar pravidelného čtyřbokého jehlanu o hraně podstavy 10cm. Stěny pláště jsou rovnostranné trojúhelníky. Jakou hmotnost v gramech má těžítko, jestliže hustota skla je 2500kg/m³? - Produkce
Měsíční produkce podniku se zvýšila z 352 výrobků na 528 výrobků. O kolik procent tedy původní měsíční produkce vzrostla? - Úhlopříčkou 3
Úhlopříčkou řezu DBFH pravidelného čtyřbokého hranolu ABCDEFGH je vepsán kruh o průměru 8 cm. Jaký je objem hranolu. - Peleton
Při cyklistických závodech jede peleton průměrnou rychlostí 36 km/h. Opravovou defektu se jeden závodník zdržel 5 minut. O kolik kilometrů za hodinu byla pak jeho rychlost větší než rychlost peletonu když ho dostihl za 20 minut? Jak dlouho by mu trvalo kd - Ovoce 7
Cena 6 kg hrušek je o 77 Kč vyšší než cena 5 kg jablek. Cena 6 kg jablek je stejná jako cena 5 kg hrušek. Kolik stojí 2 kg jablek? - Evelína 2
Evelína zryje zahradu za 4 hodiny. Její kamarádka Doubravka to zvládne za tři hodiny. Evelína začala pracovat ve 13 hodin a hodinu později se k ní přidala Doubravka, aby se spolu mohly jít koupat. Vypočítejte, v kolik hodin budou moci dívky odejít na koup - Známky 5
Známky se stejnou vahou 2,1,3,2,2,3,1,3,1,1,2,4,2,2,3,1,1,2,1,3 urči: 1) aritmetický průměr 2) absolutní a relativní četnost 3) modus a medián 4) vytvoř graf - Vykrátiť 2
Vyhodnotťe nasledovný výraz s faktoriálmi: (45!-44!)/(44!) - Krize
Firma během krize propouštěla zaměstnance, takže jich měla na konci krize o 40 % méně než před krizí. Když firma po odeznění krize přijala 42 nových zaměstnanců, měla jich o 25 % více než na konci krize. Kolik zaměstnanců měla firma před krizí? - Trojúhelníku 83261
Vypočítejte obsah trojúhelníku ABC, ve kterém znáte stranu c=5 cm, úhel při vrcholu A= 70 stupňů a poměr úseků, které vytíná výška na stranu c je 1:3 - Krychle 50
Krychle ABCDEFGH má hranu délky 3 cm. Vypočítejte objem jehlanu ABCDH. - Rovnoramenném 83247
Vypočítejte délky stran v rovnoramenném trojúhelníku, je-li dána výška (na základnu) Vc= 8,8cm a úhel u základny alfa= 38°40`. - V trojúhelníku 9
V trojúhelníku ABC je velikost vnitřního úhlu beta dvojnásobkem velikosti úhlu alfa a velikosti úhlu gama je o 20 stupňů menší než velikost úhlu beta. Urči velikost všech vnitřních úhlů tohoto trojúhelníku. - Košíkář
Košíkář prodal během prvních dvou dnů velikonoční trhu všechny upletene pomlazky, první den prodal pětinu všech pomlázek. Druhy den prodal o 180 pomlazek více než první den. Kolik pomlazek prodal kosikar první den velikonočních trhu? - Plán dnes
Traktorista má plán zorat 24 ha pole. Zoral již 20,64 ha. Na kolik procent již splnil plán? - V koloně
V koloně před mýtnou bránou stojí osobní auta a nákladní auta. Nákladní vůz je třikrát delší než osobní auto. Vypočítej, kolik stojí před autem, které právě přijelo, osobních aut, když je mezi nimi i jeden nákladní vůz, který tvoří jednu osminu délky fron