Pětiúhelník
Uvnitř pravidelného pětiúhelníku ABCDE je bod P takový, že trojúhelník ABP je rovnostranný. Jak velký je úhel BCP?
Udělej si náčrtek
Udělej si náčrtek
Správná odpověď:
Zobrazuji 5 komentářů:
Žák
trojuhelnik abp jr rovnostranny dle zadani,proto strana ab=bp=pa.u petiuhelniku ab=bc=bp. trojuhelnik bcp je rovnoramenny,,bc=bp. vsechny uhly petiuhelniku =360 st. uhel abc=360;5=72st. rovnostranny trojuhelnik ma wsoucet180st.pokud uhel abc=72st.,uhelpbc=72-60=12st. Trojuhelnik pbc je rovnoramenny pb=bc. Uhel bcp a cpb=180-12=168st. Uhel bcp=168;2=84st
Mo - Oficiální
Nápověda. Uvědomte si, že trojúhelník BCP není obecný.
Možné řešení. Pětiúhelník ABCDE je pravidelný, zejména platí |AB| = |BC|. Trojúhelník ABP je rovnostranný, zejména platí |AB| = |BP|. Odtud vidíme, že |BP| = |BC|, tedy, že trojúhelník BCP je rovnoramenný. Jeho vnitřní úhly u vrcholů P a C jsou proto shodné; k jejich určení stačí znát úhel u vrcholu B (součet velikostí vnitřních úhlů v libovolném trojúhelníku je 180◦). Přitom úhel P BC je rozdílem úhlů ABC a ABP, z nichž první je vnitřním úhlem pravidelného pětiúhelníku (vyjádříme záhy) a druhý je vnitřním úhlem rovnostranného trojúhelníku (má velikost α = 60◦).
Pětiúhelník ABCDE můžeme rozdělit na pět trojúhelníků se společným vrcholem P. Součet vnitřních úhlů pětiúhelníku je roven součtu vnitřních úhlů všech pěti trojúhelníků vyjma úhlů u vrcholu P, tj. 5·180◦−360◦ = 540◦. V pravidelném pětiúhelníku jsou všechny vnitřní úhly shodné, každý má tudíž velikost 540◦: 5 = 108◦.
Odtud konečně umíme vyjádřit β = |?P BC| = |?ABC| − |?ABP| = 108◦ − 60◦ = 48◦
a následně γ = |?BCP| = |?BPC| = (180◦ − 48◦)/2 = 66◦.
Velikost úhlu BCP je 66◦.
Poznámka. Velikost vnitřního úhlu pravidelného pětiúhelníku je možné odvodit také pomocí rozdělení na pět shodných rovnoramenných trojúhelníků jako na následujícím obrázku (S je střed pětiúhelníku, tj. střed jemu opsané kružnice).
Úhel u vrcholu S v každém z těchto trojúhelníků má velikost 360 : 5 = 72◦; součet úhlů u základny je roven 180◦−72◦ = 108◦ , což je také velikost vnitřního úhlu pravidelného pětiúhelníku.
Možné řešení. Pětiúhelník ABCDE je pravidelný, zejména platí |AB| = |BC|. Trojúhelník ABP je rovnostranný, zejména platí |AB| = |BP|. Odtud vidíme, že |BP| = |BC|, tedy, že trojúhelník BCP je rovnoramenný. Jeho vnitřní úhly u vrcholů P a C jsou proto shodné; k jejich určení stačí znát úhel u vrcholu B (součet velikostí vnitřních úhlů v libovolném trojúhelníku je 180◦). Přitom úhel P BC je rozdílem úhlů ABC a ABP, z nichž první je vnitřním úhlem pravidelného pětiúhelníku (vyjádříme záhy) a druhý je vnitřním úhlem rovnostranného trojúhelníku (má velikost α = 60◦).
Pětiúhelník ABCDE můžeme rozdělit na pět trojúhelníků se společným vrcholem P. Součet vnitřních úhlů pětiúhelníku je roven součtu vnitřních úhlů všech pěti trojúhelníků vyjma úhlů u vrcholu P, tj. 5·180◦−360◦ = 540◦. V pravidelném pětiúhelníku jsou všechny vnitřní úhly shodné, každý má tudíž velikost 540◦: 5 = 108◦.
Odtud konečně umíme vyjádřit β = |?P BC| = |?ABC| − |?ABP| = 108◦ − 60◦ = 48◦
a následně γ = |?BCP| = |?BPC| = (180◦ − 48◦)/2 = 66◦.
Velikost úhlu BCP je 66◦.
Poznámka. Velikost vnitřního úhlu pravidelného pětiúhelníku je možné odvodit také pomocí rozdělení na pět shodných rovnoramenných trojúhelníků jako na následujícím obrázku (S je střed pětiúhelníku, tj. střed jemu opsané kružnice).
Úhel u vrcholu S v každém z těchto trojúhelníků má velikost 360 : 5 = 72◦; součet úhlů u základny je roven 180◦−72◦ = 108◦ , což je také velikost vnitřního úhlu pravidelného pětiúhelníku.
8 let 1 Like
Tipy na související online kalkulačky
Vypočet rovnostranného trojúhelníku.
Vyzkoušejte také naši trigonometrickou trojúhelníkovou kalkulačku.
Vyzkoušejte také naši trigonometrickou trojúhelníkovou kalkulačku.
K vyřešení této úlohy jsou potřebné tyto znalosti z matematiky:
Jednotky fyzikálních veličin:
Téma:
Úroveň náročnosti úkolu:
Doporučujeme k tomuto príkladu si prohlédnout toto výukové video: video1
Související a podobné příklady:
- Přímka 6
Přímka p je dána bodem P [ - 0,5;1] a směrovým vektorem s= (1,5; - 3) určete: A) hodnotu parametru t pro body X [ - 1,5;3], Y [1; - 2] přímky p B) zda body R [0,5; - 1], S [1,5;3] leží na přímce p C) parametrické rovnice přímky m || p, prochází-li přímka - Jsou dány
Jsou dány body A(1,2), B(4,-2) a C(3,-2) . Najděte parametrické rovnice přímky, která: a) Prochází bodem C a je rovnoběžná s přímkou AB, b) Prochází bodem C a je kolmá k přímce AB. - Přímky
Najděte hodnotu t, pokud přímky 2tx + 5y-6 = 0 a 5x-4y + 8 = 0 jsou kolmé, rovnoběžné. Jaký úhel svírá každá z přímek s osou x, najděte úhel mezi čarami? - Parametricky 6400
Určete úhel přímky, která je určena parametricky x=5+t y=1+3t z=-2t t patři R a roviny, která je určena obecnou rovnicí 2x-y+3z-4=0.
- Ortocentrum
Je dán trojúhelník ABC: A (-1,3), B(2,-2), C(-4,-3). Urči souřadnice průsečíku výšek a souřadnice průsečík os stran. - Souřadnice 73044
Najděte bod P na úsečce AB tak, že |AP| = r |AB| . Souřadnice koncových bodů: A = (−2, 0, 1), B = (10, 8, 5), poměr r = 1/4. - Jsou dány 3
Jsou dány body: A(-3, 1), B (2,-4), C ( 3, 3) a) Určete obvod trojúhelníku ABC. b) Rozhodněte jaký je trojúhelník ABC. c) Určete délku kružnice vepsanej - Vektory v prostoru
Dáno jsou vektory u = (1; 3; -4), v = (0; 1; 1). Určete velikost těchto vektorů, Vypočtěte úhel vektorů, vzdálenost mezi vektory. - Vzdáleností 36831
Je dána přímka p a dva vnitřní body jedné z polorovin, určených přímkou p. Najdi na přímce p bod X tak, aby součet jeho vzdáleností od bodů A, B byl nejmenší.
- Kolmý průmět
Určete vzdálenost bodu B [1, -3] od kolmého průmětu bodu A [3, -2] na přímku 2 x + y + 1 = 0. - Umístěte vektor
Vektor AB, jestliže A (3, -1), B (5,3) umístěte do bodu C (1,3) tak že, AB = CO - Rostoucí funcke
Která z funkci je rostoucí? a) y = 2-x b) y = 20 c) y = (x + 2). (-5) d) y = x-2 - Trojúhelník KLM
Dané jsou body K (-3; 2), L (-1; 4), M (3, -4). zjistěte: a) zda je trojúhelník KLM pravoúhlý b) vypočítejte délku těžnice na stranu k c) napište souřadnice vektoru LM d) napište smernicový tvar strany KM e) napište smernicový tvar osy strany KM - Najděte
Najděte vektor v4 kolmý na vektory v1 = (1, 1, 1, -1), v2 = (1, 1, -1, 1) a v3 = (0, 0, 1, 1)
- Vzdálenost
Vypočítejte vzdálenost bodu A [0, 2] od přímky procházející body B [9, 5] a C [1, -1]. - Dvanásťuholník
Vypočítejte velikost menšího z úhlů, který určují přímky A1 A4 a A2 A10 v pravidelném dvanásťuholníku A1A2A3. .. A12. Výsledek uveďte v stupních. - Souřadnice vrcholů
Určete souřadnice vrcholů a obsah rovnoběžníku, jehož dvě strany leží na přímkách 8x + 3y + 1 = 0, 2x + y-1 = 0 a úhlopříčka na přímce 3x + 2y + 3 = 0