Číselna osa
V kocourkovské škole používají zvláštní číselnou osu. Vzdálenost mezi čísly 1 a 2 je 1 cm, vzdálenost mezi čísly 2 a 3 je 3 cm, mezi čísly 3 a 4 je 5 cm, a tak dále, vzdálenost mezi následující dvojicí přirozenými čísly se vždy zvètší o 2 cm. Mezi kterými dvěma přirozenými čísly je na kocourkovské číselné ose vzdálenost 39cm?
Najdi všechny možnosti. Kolik ich je?
Najdi všechny možnosti. Kolik ich je?
Správná odpověď:
Zobrazuji 4 komentáře:
Mo-radca
Nápověda. Vypište si vzdálenosti mezi různými dvojicemi čísel na kocourkovské ose.
Možné řešení.
Vzdálenost 39 cm může být realizována mezi různými dvojicemi čísel. Budeme systematicky vypisovat vzdálenosti mezi několika prvními čísly kocourkovské osy. V následujícím schématu je nad čarou vypsáno prvních 10 čísel a pod čarou skutečné vzdálenosti (v cm) mezi různými dvojicemi těchto čísel — na prvním řádku pod čarou jsou postupně vzdálenosti mezi sousedními čísly, na druhém řádku pod čarou jsou vzdálenosti mezi dvojicemi čísel, které jsou ob jedno, atd. (Např. 21 na třetím řádku pod čarou značí skutečnou vzdálenost mezi čísly 3 a 6 na kocourkovské ose a je určeno jako 5 + 7 + 9). Hvězdičkou jsou označena zbytečně velká čísla, která nás nezajímají.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 3 5 7 9 11 13 15 17
4 8 12 16 20 24 28 32 36
9 15 21 27 33 39 ∗ ∗
16 24 32 40 ∗ ∗ ∗ ∗
25 35 45 ∗ ∗ ∗ ∗
36 48 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
49 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
Ihned vidíme (z třetího řádku pod čarou), že vzdálenost 39 cm je mezi čísly 6 a 9 a že se jistě neobjevuje mezi čísly, která jsou na kocourkovské ose víc než ob dvě (od čtvrtého řádku pod čarou). Vzdálenost 39 cm se určitě také nemůže objevovat mezi čísly, která jsou ob jedno, protože všechny tyto vzdálenosti jsou sudé (druhý řádek pod čarou). Zbývá tedy prozkoumat vzdálenosti mezi sousedními čísly (první řádek pod čarou):
Posloupnost vzdáleností mezi sousedními čísly můžeme vyjádřit jako
1, 3 = 1 + 2, 5 = 1 + 2 · 2, 7 = 1 + 2 · 3, 9 = 1 + 2 · 4, . . .
Obecně, vzdálenost mezi i-tým a (i + 1)-ním číslem na kocourkovské ose je rovna
1 + 2(i − 1) = 2i − 1 (cm).
Tato vzdálenost tedy bude rovna 39 cm, právě když i = 20. Vzdálenost 39 cm na kocourkovské číselné ose je mezi dvojicemi čísel 6, 9 a 20, 21.
Poznámky.
a) Závěrečnou úvahu lze nahradit vypsáním a spočítáním všech lichých čísel až po 39. Pokud je výčet úplný, je takové řešení správné.
b) Naopak úvodní vypisování lze celé nahradit úvahou, příp. výpočtem: Všechny vzdálenosti v tabulce jsou součtem různých počtů lichých čísel, přičemž tyto počty jsou buď liché (pro sousední čísla a dvojice čísel, která jsou ob sudý počet čísel), nebo sudé (pro dvojice čísel, která jsou ob lichý počet čísel). Na jednotlivých řádcích se tedy objevují buď jenom lichá, nebo jenom sudá čísla. Vzdálenost 39 cm se tedy může objevovat pouze mezi sousedními čísly a dvojicemi, která jsou na kocourkovské ose ob sudý počet čísel.
Předchozí vypisování posloupnosti vzdáleností mezi sousedními čísly má následující analogii pro dvojice čísel, která jsou ob dvě:
9, 15 = 9 + 6, 21 = 9 + 6 · 2, 27 = 9 + 6 · 3, . . .
Obecně, vzdálenost mezi i-tým a (i + 3)-tím číslem na kocourkovské ose je rovna 9 + 6(i − 1) = 6i + 3 (cm).
Tato vzdálenost tedy bude rovna 39 cm, právě když i = 6. Obdobně lze vyjádřit jakoukoli jinou výše vypisovanou posloupnost.
c) Řešení úlohy lze zjednodušit pomocí následujícího poznatku: Součet lichého počtu po sobě jdoucích lichých čísel je roven součinu počtu těchto čísel a prostředního z nich. Zvídavým řešitelům doporučujeme tento poznatek zdůvodnit a řešení domyslet.
d) V uvedeném schématu si můžeme všimnout, že všechna čísla v prvním šikmém sloupci jsou druhými mocninami přirozených čísel. To není náhoda — obecně platí, že součet prvních k po sobě jdoucích lichých čísel je roven k2. Zvídavým řešitelům doporučujeme porovnat toto tvrzení s poznatkem v předchozí poznámce.
Možné řešení.
Vzdálenost 39 cm může být realizována mezi různými dvojicemi čísel. Budeme systematicky vypisovat vzdálenosti mezi několika prvními čísly kocourkovské osy. V následujícím schématu je nad čarou vypsáno prvních 10 čísel a pod čarou skutečné vzdálenosti (v cm) mezi různými dvojicemi těchto čísel — na prvním řádku pod čarou jsou postupně vzdálenosti mezi sousedními čísly, na druhém řádku pod čarou jsou vzdálenosti mezi dvojicemi čísel, které jsou ob jedno, atd. (Např. 21 na třetím řádku pod čarou značí skutečnou vzdálenost mezi čísly 3 a 6 na kocourkovské ose a je určeno jako 5 + 7 + 9). Hvězdičkou jsou označena zbytečně velká čísla, která nás nezajímají.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 3 5 7 9 11 13 15 17
4 8 12 16 20 24 28 32 36
9 15 21 27 33 39 ∗ ∗
16 24 32 40 ∗ ∗ ∗ ∗
25 35 45 ∗ ∗ ∗ ∗
36 48 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
49 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
Ihned vidíme (z třetího řádku pod čarou), že vzdálenost 39 cm je mezi čísly 6 a 9 a že se jistě neobjevuje mezi čísly, která jsou na kocourkovské ose víc než ob dvě (od čtvrtého řádku pod čarou). Vzdálenost 39 cm se určitě také nemůže objevovat mezi čísly, která jsou ob jedno, protože všechny tyto vzdálenosti jsou sudé (druhý řádek pod čarou). Zbývá tedy prozkoumat vzdálenosti mezi sousedními čísly (první řádek pod čarou):
Posloupnost vzdáleností mezi sousedními čísly můžeme vyjádřit jako
1, 3 = 1 + 2, 5 = 1 + 2 · 2, 7 = 1 + 2 · 3, 9 = 1 + 2 · 4, . . .
Obecně, vzdálenost mezi i-tým a (i + 1)-ním číslem na kocourkovské ose je rovna
1 + 2(i − 1) = 2i − 1 (cm).
Tato vzdálenost tedy bude rovna 39 cm, právě když i = 20. Vzdálenost 39 cm na kocourkovské číselné ose je mezi dvojicemi čísel 6, 9 a 20, 21.
Poznámky.
a) Závěrečnou úvahu lze nahradit vypsáním a spočítáním všech lichých čísel až po 39. Pokud je výčet úplný, je takové řešení správné.
b) Naopak úvodní vypisování lze celé nahradit úvahou, příp. výpočtem: Všechny vzdálenosti v tabulce jsou součtem různých počtů lichých čísel, přičemž tyto počty jsou buď liché (pro sousední čísla a dvojice čísel, která jsou ob sudý počet čísel), nebo sudé (pro dvojice čísel, která jsou ob lichý počet čísel). Na jednotlivých řádcích se tedy objevují buď jenom lichá, nebo jenom sudá čísla. Vzdálenost 39 cm se tedy může objevovat pouze mezi sousedními čísly a dvojicemi, která jsou na kocourkovské ose ob sudý počet čísel.
Předchozí vypisování posloupnosti vzdáleností mezi sousedními čísly má následující analogii pro dvojice čísel, která jsou ob dvě:
9, 15 = 9 + 6, 21 = 9 + 6 · 2, 27 = 9 + 6 · 3, . . .
Obecně, vzdálenost mezi i-tým a (i + 3)-tím číslem na kocourkovské ose je rovna 9 + 6(i − 1) = 6i + 3 (cm).
Tato vzdálenost tedy bude rovna 39 cm, právě když i = 6. Obdobně lze vyjádřit jakoukoli jinou výše vypisovanou posloupnost.
c) Řešení úlohy lze zjednodušit pomocí následujícího poznatku: Součet lichého počtu po sobě jdoucích lichých čísel je roven součinu počtu těchto čísel a prostředního z nich. Zvídavým řešitelům doporučujeme tento poznatek zdůvodnit a řešení domyslet.
d) V uvedeném schématu si můžeme všimnout, že všechna čísla v prvním šikmém sloupci jsou druhými mocninami přirozených čísel. To není náhoda — obecně platí, že součet prvních k po sobě jdoucích lichých čísel je roven k2. Zvídavým řešitelům doporučujeme porovnat toto tvrzení s poznatkem v předchozí poznámce.
8 let 3 Likes
K vyřešení této úlohy jsou potřebné tyto znalosti z matematiky:
Související a podobné příklady:
- Košíkář
Košíkář prodal během prvních dvou dnů velikonoční trhu všechny upletene pomlazky, první den prodal pětinu všech pomlázek. Druhy den prodal o 180 pomlazek více než první den. Kolik pomlazek prodal kosikar první den velikonočních trhu? - Plán dnes
Traktorista má plán zorat 24 ha pole. Zoral již 20,64 ha. Na kolik procent již splnil plán? - V koloně
V koloně před mýtnou bránou stojí osobní auta a nákladní auta. Nákladní vůz je třikrát delší než osobní auto. Vypočítej, kolik stojí před autem, které právě přijelo, osobních aut, když je mezi nimi i jeden nákladní vůz, který tvoří jednu osminu délky fron - Máme vodu
Máme vodu 67°C 160 L, Kolik litrů studené vody 18°C na ochlazení na 39°C? - Vydrží 83209
z Uhlí pro 15 rodin vydrží 60 dní. Kolik dní vydrží uhlí pro 20 rodin? - Pracovníci 4
Pracovníci jedné dílny obráběli během tří měsíců stejné součástky. Jejich výkon stoupal tak, že každý následující měsíc obrobili o 10 procent více součástek než v předcházejícím měsíci. V posledním měsíci obrobili 484 součástek. Kolik součástek obrobili v - Zvonoviny, zvony
V devíti kilogramech zvonoviny je 7kg mědi, zbytek je cín. Kolik mědi a kolik cínu se spotřebovalo na ulití 5 zvonů? Každý ze dvou větších zvonů měl hmotnost 535kg, každý ze zbývajících tří menších měl hmotnost 286kg. - Kytice 3
Jarní kytici tvoří 13 narcisů, 8 tulipánů a dalších 30% jsou frézie, kolik květin je v kytici celkem? - Obrazec
Obrazec se skládá z tmavého čtverce, dvou shodných bílých rovnoramenných trojúhelníků a dvou shodných bílých lichoběžníků. (S každou stranou čtverce splývá základna jednoho bílého útvaru. ) Tmavý čtverec má stranu délky 12 cm a jeho obsah je polovinou obs - V zeleném
V zeleném kanystru bylo ráno o 6 litrů více než v modrém. Odpoledne zahradník 1 litr vody ze zeleného kanystru do modrého. v zeleném kanystru pak bylo dvakrát více vody než v modrém. Kolik bylo ráno v zeleném kanystru. Kolik bylo v obou dohromady. - Výsledky
Výsledky osmých tříd z testu: 8D =? 8B = 47 8A = 44 8E = 37 8C = 28 Přesně průměrného výsledku dosáhla třída 8A. Kolik bodů získala vítězná třída 8D? O kolik % je úspěšnější třída 8B než 8C? - Farmár 7
Farmár má ustájených 250 kráv. V kravíne pripadá na jednu kravu 5m². O koľko m² sa zmenší miesto pre jednu kravu, keď ich počet stúpne o 26? - Jedničku 83149
Ve třídě je 30 žáků. Pět měli známku trojku. Ostatní dvojky a jednotky. Průměr známek byl 1,9. Kolik žáků mělo jedničku? - Za rybníkem
Za rybníkem lyžuje kocour Mikeš a sankuje bobes svah dlouhý 300 sjede opatrný bobes za minutu. O kolik km/h sjede kopec rychleji Mikeš než bobes je-li dole o 20 sekund dřív? - Katka 7
Katka si objednala dort ve tvaru valce o objemu 15,7l. Skládá se ze dvou pater. Objem horního patra je 4x menší než objem dolního patra. Výška obou pater stejna a je rovná polomeru horního patra dortu. Katka rozkrojila dort kolmo k podložce na 2 stejně čá - Pokémony
Jenda, Milan a Tomáš mají dohromady 203 kartiček s Pokémony. Jenda má dvakrát více kartiček než Tomáš. Milan má čtvrtinu z Jendova počtu kartiček. a) Kolik kartiček má Jenda? b) O kolik kartiček méně má Milan než Jenda s Tomášem dohromady? - Knihomol
Ondra četl knihu. První den přečetl jednu desetinu. Druhý den polovinu zbytku, třetí den 20% nového zbytku a čtvrtý den dočetl 72 zbývajících stran. Kolik stran měla kniha?