Člověk na trámu

Homogenní dřevěný trám délky 6,00 m a hmotnosti 72,0 kg leží na vodorovné plošině vysoko nad zemí a přečnívá o 1,80 m přes okraj plošiny

a) Rozhodněte, zda se může na visutý konec trámu postavit člověk o hmotnosti 60,0 kg.
b) Určete maximální hmotnost člověka, který se může na konec tohoto trámu postavit, aby se s trámem nepřevrátil.
c) Určete do jaké vzdálenosti od konce trámu se může člověk o hmotnosti 75,0 kg postavit, aby se trám nezvrátil.
d) Určete maximální délku, o kterou může trám přečnívat přes okraj, aby se člověk o hmotnosti 60,0 kg stojící na jeho konci s trámem nepřevrátil.

Správná odpověď:

b =  48 kg
c =  1,152 m
d =  1,6364 m

Postup správného řešení:

$$\begin{gathered} h=72/6=12 \\ {r}_1=1,8 \\ {r}_2=6-r_1=6-1,8=\frac{21}{5}=4,2 \\ {\sum }_{\{}{r}_1{\}}^{\{}{r}_2\}{m}_i{r}_i=r_1\cdot b \\ \underset{\{}{\int }{r}_1{\}}^{\{}{r}_2\}hrdr=r_1\cdot b=M \\ M=h\cdot (r_2^2/2-r_1^2/2)=12\cdot (4,2^2/2-1,8^2/2)=\frac{432}{5}=86,4 \\ b=M/r_1=86,4/1,8=48\text{kg} \end{gathered}$$

$c=M/75,0=86,4/75,0=1,152\text{m}$

$$\begin{gathered} \underset{\{}{\int }d{\}}^{\{}6-d\}hrdr=60d \\ h((6-d{)}^2/2-d^2/2)=60\cdot d \\ h(6^2-12d+d^2-d^2)=120d \\ d=h\cdot 6^2/(120+12\cdot h)=12\cdot 6^2/(120+12\cdot 12)=1,6364\text{m} \end{gathered}$$

Zkusit jiný příklad