Bonbóny MO Z6-I-5 2017
V plechovce byly červené a zelené bonbóny. Čeněk snědl 2/5 všech červených bonbónů a Zuzka snědla 3/5 všech zelených bonbónů. Teď tvoří červené bonbóny 3/8 všech bonbónů v plechovce.
Kolik nejméně bonbónů mohlo být původně v plechovce?
Kolik nejméně bonbónů mohlo být původně v plechovce?
Správná odpověď:
Zobrazuji 21 komentářů:
Dr Math
Tomas pise - Tak za prvé:
Zadání není jednoznačné. (komentar hackmath - zadani MO sorry nad tim zadanim sedeli jine kapacity nez my laici:)
A za druhé:
Výsledek 35 je špatně. Správně je 40.
---------------------------------------------
Správné řešení:
Ad 1:
Třetí věta: "Teď tvoří červené bonbóny 3/8 všech bonbónù v plechovce" je neúplná, protože vede ke dvěma možným závěrùm. Buď myšleno jako "ze všech bonbónù, které nyní v plechovce zbyly (po odebrání)" nebo "ze všech bonbónù, které (před odebráním) v plechovce pùvodně byly".
Obě možnosti jsou spočítatelné, ale vedou k rozdílnému výsledku. Pokud se dobře pamatuji na správné zadání, myšleno je "ze všech bonbónù, které (před odebráním) v plechovce pùvodně byly".
S touto premisou ad 2:
Výsledek 35 je špatně už jen proto, že není beze zbytku dělitelný 8. Připomeňme si větu: "Teď tvoří červené bonbóny 3/8 ze všech bonbónù, které (před odebráním) v plechovce pùvodně byly". Tento předpoklad splňují pouze čísla 8, 16, 24, 32.
Počet červených bonbónù --> x (číslo neznáme, ale víme, že je dělitelné 5 beze zbytku)
Počet zelených bonbónù --> y (opět číslo neznáme, ale víme, že je dělitelné 5 beze zbytku)
Máme rovnici:
z = x + y
kde "z" je nějaké nejmenší celé číslo (počet všech bonbónù pùvodně v plechovce), na které máme dojít, ale zároveň víme, že je dělitelné 8 beze zbytku.
(Vsuvka: už zde je patrné, že řešením mùže být jedině číslo z řady 40, 80, 120, 160. Pokud jsou čísla "x" a "y" dělitelná beze zbytku 5 a zároveň jejich součet je beze zbytku dělitelný 8, tak jejich součet musí být dělitelný jak 5, tak 8 beze zbytku. A tomu odpovídají pouze čísla z uvedené řady.)
Dále máme rovnici:
3/5 x = 3/8 (x + y)
která nám vyjadřuje větu "Teď tvoří červené bonbóny 3/8 ze všech bonbónù, které (před odebráním) v plechovce pùvodně byly".
3/5 x --> znamená počet červených bonbónù zbylých v plechovce po odebrání 2/5 červených bonbónù.
3/8 (x + y) --> znamená 3/8 všech bonbónù v plechovce, které tam pùvodně byly.
řešme rovnici:
3/5 x = 3/8 (x + y)
3/5 x = 3/8 x + 3/8 y
24 x = 15 x + 15 y
9 x = 15 y
3 x = 5 y
=======
(x = 5/3 y)
Víme, že "x" a "y" je dělitelné 5 beze zbytku, takže to mohou být pouze čísla 5, 10, 15. tím z předchozí rovnice odvodíme:
Pokud je y = 5 --> pak x = 8,3333. (špatně)
Pokud je y = 10 --> pak x = 16,6666. (špatně)
Pokud je y = 15 --> pak x = 25 (sedí) --> obě čísla jsou dělitelná 5 beze zbytku.
Takže počet červených bonbónù je:
x = 25
a počet zelených bonbónù je:
y = 15
--------------------------------------
Zkouška:
3/5 x = 3/8 (x + y)
3/5 * 25 = 3/8 (25+15)
3/5 * 25 = 3/8 *40
3 * (25/5) = 3 * (40/8)
3 * 5 = 3 * 5
15 = 15
======
A to je správně.
Takže námi hledané číslo je:
z = x + y
z = 25 + 15
z = 40
=====
A je zároveň nejmenší možné, protože pokud bude "y" 5 nebo 10 (což jsou, jak jsme si ukázali, jediné možné menší alternativy) tak "x" bude necelé číslo, a navíc nebude dělitelné 5. (Nebo jinak: 40 je nejmenší možná alternativa z možné řady výsledkù 40, 80, 120.)
Zadání není jednoznačné. (komentar hackmath - zadani MO sorry nad tim zadanim sedeli jine kapacity nez my laici:)
A za druhé:
Výsledek 35 je špatně. Správně je 40.
---------------------------------------------
Správné řešení:
Ad 1:
Třetí věta: "Teď tvoří červené bonbóny 3/8 všech bonbónù v plechovce" je neúplná, protože vede ke dvěma možným závěrùm. Buď myšleno jako "ze všech bonbónù, které nyní v plechovce zbyly (po odebrání)" nebo "ze všech bonbónù, které (před odebráním) v plechovce pùvodně byly".
Obě možnosti jsou spočítatelné, ale vedou k rozdílnému výsledku. Pokud se dobře pamatuji na správné zadání, myšleno je "ze všech bonbónù, které (před odebráním) v plechovce pùvodně byly".
S touto premisou ad 2:
Výsledek 35 je špatně už jen proto, že není beze zbytku dělitelný 8. Připomeňme si větu: "Teď tvoří červené bonbóny 3/8 ze všech bonbónù, které (před odebráním) v plechovce pùvodně byly". Tento předpoklad splňují pouze čísla 8, 16, 24, 32.
Počet červených bonbónù --> x (číslo neznáme, ale víme, že je dělitelné 5 beze zbytku)
Počet zelených bonbónù --> y (opět číslo neznáme, ale víme, že je dělitelné 5 beze zbytku)
Máme rovnici:
z = x + y
kde "z" je nějaké nejmenší celé číslo (počet všech bonbónù pùvodně v plechovce), na které máme dojít, ale zároveň víme, že je dělitelné 8 beze zbytku.
(Vsuvka: už zde je patrné, že řešením mùže být jedině číslo z řady 40, 80, 120, 160. Pokud jsou čísla "x" a "y" dělitelná beze zbytku 5 a zároveň jejich součet je beze zbytku dělitelný 8, tak jejich součet musí být dělitelný jak 5, tak 8 beze zbytku. A tomu odpovídají pouze čísla z uvedené řady.)
Dále máme rovnici:
3/5 x = 3/8 (x + y)
která nám vyjadřuje větu "Teď tvoří červené bonbóny 3/8 ze všech bonbónù, které (před odebráním) v plechovce pùvodně byly".
3/5 x --> znamená počet červených bonbónù zbylých v plechovce po odebrání 2/5 červených bonbónù.
3/8 (x + y) --> znamená 3/8 všech bonbónù v plechovce, které tam pùvodně byly.
řešme rovnici:
3/5 x = 3/8 (x + y)
3/5 x = 3/8 x + 3/8 y
24 x = 15 x + 15 y
9 x = 15 y
3 x = 5 y
=======
(x = 5/3 y)
Víme, že "x" a "y" je dělitelné 5 beze zbytku, takže to mohou být pouze čísla 5, 10, 15. tím z předchozí rovnice odvodíme:
Pokud je y = 5 --> pak x = 8,3333. (špatně)
Pokud je y = 10 --> pak x = 16,6666. (špatně)
Pokud je y = 15 --> pak x = 25 (sedí) --> obě čísla jsou dělitelná 5 beze zbytku.
Takže počet červených bonbónù je:
x = 25
a počet zelených bonbónù je:
y = 15
--------------------------------------
Zkouška:
3/5 x = 3/8 (x + y)
3/5 * 25 = 3/8 (25+15)
3/5 * 25 = 3/8 *40
3 * (25/5) = 3 * (40/8)
3 * 5 = 3 * 5
15 = 15
======
A to je správně.
Takže námi hledané číslo je:
z = x + y
z = 25 + 15
z = 40
=====
A je zároveň nejmenší možné, protože pokud bude "y" 5 nebo 10 (což jsou, jak jsme si ukázali, jediné možné menší alternativy) tak "x" bude necelé číslo, a navíc nebude dělitelné 5. (Nebo jinak: 40 je nejmenší možná alternativa z možné řady výsledkù 40, 80, 120.)
Dr Math
Tomas poslal linku na jeho zpusob reseni:) nicmene
pri cervenych c=10 a zelenych z=25 . Dokopy cili 35. Kdybys spravil zkousku spravnosti j(poslednich 5 radku reseni) ako my, zjistil bys ze snedl 4 cervene a ostalo 6 cervenych a 15 zelenych a ostalo 10 zelenych. cize ostalo 6/(6+10) = 6 / 16 = 3/8 vsech bonbonu...
Tak jak mohlo vyjst 40 bonbonu a ne 35 :D ?!?
pri cervenych c=10 a zelenych z=25 . Dokopy cili 35. Kdybys spravil zkousku spravnosti j(poslednich 5 radku reseni) ako my, zjistil bys ze snedl 4 cervene a ostalo 6 cervenych a 15 zelenych a ostalo 10 zelenych. cize ostalo 6/(6+10) = 6 / 16 = 3/8 vsech bonbonu...
Tak jak mohlo vyjst 40 bonbonu a ne 35 :D ?!?
6 let 1 Like
Dr Math
Repost od Tomas:
Ahoj jeste jednou.
Tak jsem se na to kukl, a dosel jsem na to, proc se rozchazime:
---
Jak jsem psal, pocital jsem dale s premisou "ze vsech bonbonu, ktere (pred odebranim) v plechovce puvodne byly". S timto zakladem vychazi celkovy pocet 40.
Ted jsem si to prosel poradne a zjistil jsem, ze ty jsi pocital s druhou premisou, a to: "ze vsech bonbonu, ktere nyni v plechovce zbyly (po odebrani)", kde skutecne vysledek vyjde 35. (Taky jsem avizoval, že to vede k rozdilnym vysledkum, ale blbec jsem si nespocital tu druhou moznost :D coz je moje chyba.)
Pouzita rovnice by tedy byla:
3/5 x = 3/8 (3/5 x + 2/5 y) --- pocet cervenych bonbonu, ktere zustaly = 3/8 zbytku (zustatek cervenych + zustatek zelenych)
Nicmene z toho plyne krasne ponauceni (a to nemyslim na tebe Dr Math): "Jednoznaènost zadani vede k jednoznacnemu vysledku."
Great challenge, po dlouhe dobe jsem si pekne zapocital. Moc dik.
Ahoj jeste jednou.
Tak jsem se na to kukl, a dosel jsem na to, proc se rozchazime:
---
Jak jsem psal, pocital jsem dale s premisou "ze vsech bonbonu, ktere (pred odebranim) v plechovce puvodne byly". S timto zakladem vychazi celkovy pocet 40.
Ted jsem si to prosel poradne a zjistil jsem, ze ty jsi pocital s druhou premisou, a to: "ze vsech bonbonu, ktere nyni v plechovce zbyly (po odebrani)", kde skutecne vysledek vyjde 35. (Taky jsem avizoval, že to vede k rozdilnym vysledkum, ale blbec jsem si nespocital tu druhou moznost :D coz je moje chyba.)
Pouzita rovnice by tedy byla:
3/5 x = 3/8 (3/5 x + 2/5 y) --- pocet cervenych bonbonu, ktere zustaly = 3/8 zbytku (zustatek cervenych + zustatek zelenych)
Nicmene z toho plyne krasne ponauceni (a to nemyslim na tebe Dr Math): "Jednoznaènost zadani vede k jednoznacnemu vysledku."
Great challenge, po dlouhe dobe jsem si pekne zapocital. Moc dik.
6 let 1 Like
@user
Výsledek je 40. Z toho důvodu , ze 40 je nejnizsi možné číslo, které lze rozdělit jak na pětiny tak i osminy (aby bylo výsledkem cele číslo ( rozuměj cely bonbon))
6 let 1 Like
Dr Math
Tym lidem co stale tu pisu o 40 jako o řešení třeba jen vzkázat že ať si přečte zadani jeste jednou, otestujuci ci 35 je správní řešení a nebe 40 je spravne reseni ... 35 je dělitelné 5. Proc by proboha melo byt dělitele 8? dělitelné 8 ma byt novy stav bonbonu 16 a ta je dělitelná 8 (a nemusi byt 5).
Odteď smažu kazdy nesmysel o 40: D Zadání je jednoznačné, Tomas se mýlil hned v prvni úvahu ... když napsal "Zadání není jednoznačné" .... a třetí věta: "Teď tvoří červené bonbóny 3/8 všech bonbonu v plechovce" je přece to ze zůstalo 6 červených z 16 celkových bonbonu ... Tam se nepočítej ti snědené ... ti jsou v břiše ne v plechovce...
Odteď smažu kazdy nesmysel o 40: D Zadání je jednoznačné, Tomas se mýlil hned v prvni úvahu ... když napsal "Zadání není jednoznačné" .... a třetí věta: "Teď tvoří červené bonbóny 3/8 všech bonbonu v plechovce" je přece to ze zůstalo 6 červených z 16 celkových bonbonu ... Tam se nepočítej ti snědené ... ti jsou v břiše ne v plechovce...
6 let 1 Like
Žák
Dobrý den. Jsem student 5 ročníku a koukal jsem se i na težší úlohy. Jen bych se chtěl zeptat jak zjistím, že červených je 10 a zelených 25? Vím, že je to možná hloupá otázka a vy budete nade mnou kroutit halvou, ale byl bych rád kdybyste mi někdo ukázal postup jak dostat ta čísla.
Tipy na související online kalkulačky
Chceš si vypočítat nejmenší společný násobek dvou nebo více čísel?
Potřebujete pomoci sčítat, zkrátít či vynásobit zlomky? Zkuste naši zlomkovou kalkulačku.
Řešíte Diofantovské problémy a hledáte kalkulačku diofantovských celočíselných rovnic?
Máte lineární rovnici nebo soustavu rovnic a hledáte její řešení? Nebo máte kvadratickou rovnici?
Potřebujete pomoci sčítat, zkrátít či vynásobit zlomky? Zkuste naši zlomkovou kalkulačku.
Řešíte Diofantovské problémy a hledáte kalkulačku diofantovských celočíselných rovnic?
Máte lineární rovnici nebo soustavu rovnic a hledáte její řešení? Nebo máte kvadratickou rovnici?
K vyřešení této úlohy jsou potřebné tyto znalosti z matematiky:
Související a podobné příklady:
- Na okně
Na okně jsou pavouci a mouchy. Dohromady mají 38 nohou. Kolik je pavouků a kolik je much, jestliže pavouk má 8 nohou a moucha 6? Stačí uvést jedno řešení. - Pan delfín
Pan delfín a pan žralok byli zdatní rybáři. Jednou dohromady ulovili 70 ryb. Pět devítin ryb, ulovil pan delfín, byli Pstruzi. Dvě sedmnáctiny ryb, které ulovil pan žralok, byli kapři. Kolik ryb ulovil pan Delfín? - Nepozornosti MO 2023 Z9
Karel měl vynásobit dvě dvouciferná čísla. Z nepozornosti vyměnil pořadí číslic v jednom z činitelů a dostal součin, který byl o 4 248 menší než správný výsledek. Jaký je správný výsledek? Kolik mělo Karlovi správně vyjít? - Najít
Najít číslo se šesti číslicemi. Pokud dáš poslední číslici před první tak dostaneš nové číslo které je pětkrát větší. číslice mezi nesmí změnit svou pozici. - Trojciferné 81064
Tříciferné číslo má ciferný součet 16. pokud v tomto čísle zaměníme číslice na místech stovek a desítek, číslo se o 360 zmenší. pokud v původním čísle zaměníme čísla na místech desítek a jednotek, číslo se o 54 zvětší. najděte toto trojciferné číslo - Karel 5
Karel má z pětiminutovek průměr známek přesně 1,12. Dokažte, že z nich má aspoň 22 jedniček. - MO Z9 2022
Najděte nejmenší kladná čísla a a b, pro které platí 7a³ = 11b⁵ - Pan Špaček
Pan Špaček chová ptáky. Má jich více než 50 a méně než 100. Andulky tvoří devítinu a kanáři čtvrtinu celkového počtu. Kolik ptáků choval? - Délka 20
Délka hrany krychle v cm je vyjádřena přirozeným číslem. Její objem je větší než 100 a menší než 200. Vypočítejte povrch krychle. - Skříňky
Skříňky kuchyňské linky se prodávají v šířkách 80 cm, 60 cm a 40 cm. Jakou sestavu můžeme zvolit, máme-li stěnu 3,5 m dlouhou a chceme ji zcela zaplnit sestavou, ve které je také myčka, jejíž šířka je 60 cm a sporák široký 50 cm. - Solve
Řešte algebrogram (rovnici s písmeny, kde písmeno je jedna číslice) Fot Bal — Cvik - Dům má
Dům má dvě podlaží. Na každém podlaží bydlí muži a ženy v takovém počtu, že jejich poměr je na každém podlaží 3:2. Na druhém podlaží bydlí o pět osob více, než na prvním podlaží. Kolik žen bydlí na druhém podlaží? - Knihovně 64324
V městské knihovně vzrostl v roce 2008 počet knih o 0,2% a v roce 2009 vzrostl počet knih o 0,6%. Přitom celkový počet knih zůstal menší než 300 000. Kolik knih přibylo v městské knihovně v roce 2009? - Vodník
Vodník Kebule nakupoval v rybárně kapitána Nema, kde ceny všeho zboží byli uvedený v celých šupinách. Kdyby Kebule koupil 2 raky, 3 škeble, a 1 štiku, zaplatil by 49 šupin. Pokud by přikoupil ještě 5 řáku, 11 škeblí a 1 štiku, platil by celkem 154 šupin. - Obvod 11990
Pravoúhlý trojúhelník má celočíselné délky stran a obvod 11990. Navíc víme, že jedna jeho odvěsna má prvočíselnou délku. Určete ji. - Třemi kostkami
Jaká je pravděpodobnost, že při hodu třemi hracími kostkami (B, M, Z) bude součet teček 14? - Trojnožky
Na nově objevené planetě žijí zvířata, která astronauti pojmenovali podle počtu nohou jednonožky, dvojnožky, trojnožky a tak dále (zvířata bez nohou tam nebyla). Zvířata s lichým počtem nohou mají dvě hlavy, zvířata se sudým počtem nohou mají jednu hlavu.