Trojuholník 15 15 28.28

Tupouhlý rovnoramenný trojuholník.

Strany: a = 15 b = 15 c = 28,28

Obsah trojuholníka: S = 70,78553540772
Obvod trojuholníka: o = 58,28
Semiperimeter (poloobvod): s = 29,14

Uhol ∠ A = α = 19,49656783159° = 19°29'44″ = 0,34402637765 rad
Uhol ∠ B = β = 19,49656783159° = 19°29'44″ = 0,34402637765 rad
Uhol ∠ C = γ = 141,00986433683° = 141°31″ = 2,46110651005 rad

Výška trojuholníka: v_a = 9,43880472103
Výška trojuholníka: v_b = 9,43880472103
Výška trojuholníka: v_c = 5,00660363562

Ťažnica: t_a = 21,3577181462
Ťažnica: t_b = 21,3577181462
Ťažnica: t_c = 5,00660363562

Polomer vpísanej kružnice: r = 2,42991473602
Polomer opísanej kružnice: R = 22,47328691512

Súradnice vrcholov: A[28,28; 0] B[0; 0] C[14,14; 5,00660363562]
Ťažisko: T[14,14; 1,66986787854]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[14,14; -17,4676832795]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[14,14; 2,42991473602]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 160,50443216841° = 160°30'16″ = 0,34402637765 rad
∠ B' = β' = 160,50443216841° = 160°30'16″ = 0,34402637765 rad
∠ C' = γ' = 38,99113566317° = 38°59'29″ = 2,46110651005 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 15 b = 15 c = 28, 28

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 15 + 15 + 28, 28 = 58, 28

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{5 8 , 2 8}{2} = 29, 14

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 29, 14 (29, 14 - 15) (29, 14 - 15) (29, 14 - 28, 28) S = 5010, 57 = 70, 79

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 7 0 , 7 9}{1 5} = 9, 44 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 7 0 , 7 9}{1 5} = 9, 44 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 7 0 , 7 9}{2 8 , 2 8} = 5, 01

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 5 ^{2} + 2 8 , 2 8 ^{2} - 1 5 ^{2}}{2 \cdot 1 5 \cdot 2 8 , 2 8}) = 19 ° 2 9^{'} 44 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 5 ^{2} + 2 8 , 2 8 ^{2} - 1 5 ^{2}}{2 \cdot 1 5 \cdot 2 8 , 2 8}) = 19 ° 2 9^{'} 44 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 19 ° 2 9^{'} 44 " - 19 ° 2 9^{'} 44 " = 141 ° 31 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{7 0 , 7 9}{2 9 , 1 4} = 2, 43

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 5 \cdot 1 5 \cdot 2 8 , 2 8}{4 \cdot 2 , 4 2 9 \cdot 2 9 , 1 4} = 22, 47

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 5 ^{2} + 2 \cdot 2 8 , 2 8 ^{2} - 1 5 ^{2}}{2} = 21, 357 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 8 , 2 8 ^{2} + 2 \cdot 1 5 ^{2} - 1 5 ^{2}}{2} = 21, 357 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 5 ^{2} + 2 \cdot 1 5 ^{2} - 2 8 , 2 8 ^{2}}{2} = 5, 006

Vypočítať ďaľší trojuholník