Výpočet trojuholníka SSS - výsledok
Tupouhlý rôznostranný trojuholník.
Strany: a = 5,5 b = 5,3 c = 7,8Obsah trojuholníka: S = 14,56215933194
Obvod trojuholníka: o = 18,6
Semiperimeter (poloobvod): s = 9,3
Uhol ∠ A = α = 44,78875169949° = 44°47'15″ = 0,78216896354 rad
Uhol ∠ B = β = 42,75547920255° = 42°45'17″ = 0,74662118919 rad
Uhol ∠ C = γ = 92,45876909797° = 92°27'28″ = 1,61436911264 rad
Výška trojuholníka: va = 5,29551248434
Výška trojuholníka: vb = 5,49549408753
Výška trojuholníka: vc = 3,73437418768
Ťažnica: ta = 6,07547427929
Ťažnica: tb = 6,20766496598
Ťažnica: tc = 3,73663083385
Polomer vpísanej kružnice: r = 1,56657627225
Polomer opísanej kružnice: R = 3,90435906822
Súradnice vrcholov: A[7,8; 0] B[0; 0] C[4,03884615385; 3,73437418768]
Ťažisko: T[3,94661538462; 1,24545806256]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[3,9; -0,16773923963]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[4; 1,56657627225]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 135,21224830052° = 135°12'45″ = 0,78216896354 rad
∠ B' = β' = 137,24552079745° = 137°14'43″ = 0,74662118919 rad
∠ C' = γ' = 87,54223090203° = 87°32'32″ = 1,61436911264 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=5,5 b=5,3 c=7,8
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=5,5+5,3+7,8=18,6
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=218,6=9,3
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=9,3(9,3−5,5)(9,3−5,3)(9,3−7,8) S=212,04=14,56
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=5,52⋅ 14,56=5,3 vb=b2 S=5,32⋅ 14,56=5,49 vc=c2 S=7,82⋅ 14,56=3,73
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 5,3⋅ 7,85,32+7,82−5,52)=44°47′15" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 5,5⋅ 7,85,52+7,82−5,32)=42°45′17" γ=180°−α−β=180°−44°47′15"−42°45′17"=92°27′28"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=9,314,56=1,57
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 1,566⋅ 9,35,5⋅ 5,3⋅ 7,8=3,9
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 5,32+2⋅ 7,82−5,52=6,075 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 7,82+2⋅ 5,52−5,32=6,207 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 5,52+2⋅ 5,32−7,82=3,736
Vypočítať ďaľší trojuholník