Výpočet trojuholníka - výsledok

Zadané strany a, c a výška v_c.

Trojuholník má dve riešenia: a=5; b=16.27988205961; c=12 a a=5; b=8.54440037453; c=12.

#1 Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 5 b = 16,27988205961 c = 12

Obsah trojuholníka: S = 18
Obvod trojuholníka: o = 33,27988205961
Semiperimeter (poloobvod): s = 16,6399410298

Uhol ∠ A = α = 10,62196552762° = 10°37'11″ = 0,185534795 rad
Uhol ∠ B = β = 143,13301023542° = 143°7'48″ = 2,49880915448 rad
Uhol ∠ C = γ = 26,25502423697° = 26°15'1″ = 0,45881531588 rad

Výška trojuholníka: v_a = 7,2
Výška trojuholníka: v_b = 2,21114624206
Výška trojuholníka: v_c = 3

Ťažnica: t_a = 14,08801278403
Ťažnica: t_b = 4,27220018727
Ťažnica: t_c = 10,44403065089

Polomer vpísanej kružnice: r = 1,08217691059
Polomer opísanej kružnice: R = 13,56656838301

Súradnice vrcholov: A[12; 0] B[0; 0] C[-4; 3]
Ťažisko: T[2,66766666667; 1]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[6; 12,16766666667]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[0,3610589702; 1,08217691059]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 169,38803447238° = 169°22'49″ = 0,185534795 rad
∠ B' = β' = 36,87698976458° = 36°52'12″ = 2,49880915448 rad
∠ C' = γ' = 153,75497576303° = 153°44'59″ = 0,45881531588 rad

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Výpočet trojuholníka prebieha v dvoch fázach. Prvá fáza je taká, že zo vstupných parametrov sa snažíme vypočítať všetky tri strany trojuholníka. Prvá fáza prebieha rôzne pre rôzne zadané trojuholníky. Druhá fáza je vlastne výpočet ostatných charakteristík trojuholníka (z už vypočítaných strán, preto SSS), ako sú uhly, plocha, obvod, výšky, ťažnice, polomery kružníc atď. Niektoré vstupné vstupné údaje vedú aj v dvom až trom správnym riešeniam trojuholníka (napr. ak je zadaný obsah trojuholníka a dve strany - výsledkom je typicky ostrouhlý a aj tupouhlý trojuholník).

1. Zadané vstupné údaje: strany a, c a výška v_c.

a = 5 c = 12 v_{c} = 3

2. Zo strany c a výšky v_c vypočítame obsah S:

S = \frac{c v _{c}}{2} S = \frac{1 2 \cdot 3}{2} = 18

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený. Ďalej preto výpočet je rovnaký a dopočítajú sa ďaľšie jeho vlastnosti - vlastne výpočet trojuholníka zo známych troch strán SSS.

a = 5 b = 16, 28 c = 12

3. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 5 + 16, 28 + 12 = 33, 28

4. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{3 3 , 2 8}{2} = 16, 64

5. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 16, 64 (16, 64 - 5) (16, 64 - 16, 28) (16, 64 - 12) S = 324 = 18

6. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 8}{5} = 7, 2 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 8}{1 6 , 2 8} = 2, 21 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 8}{1 2} = 3

7. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 6 , 2 8 ^{2} + 1 2 ^{2} - 5 ^{2}}{2 \cdot 1 6 , 2 8 \cdot 1 2}) = 10 ° 3 7^{'} 11 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{5 ^{2} + 1 2 ^{2} - 1 6 , 2 8 ^{2}}{2 \cdot 5 \cdot 1 2}) = 143 ° 7^{'} 48 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 10 ° 3 7^{'} 11 " - 143 ° 7^{'} 48 " = 26 ° 1 5^{'} 1 "

8. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 8}{1 6 , 6 4} = 1, 08

9. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{5 \cdot 1 6 , 2 8 \cdot 1 2}{4 \cdot 1 , 0 8 2 \cdot 1 6 , 6 3 9} = 13, 57

10. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 6 , 2 8 ^{2} + 2 \cdot 1 2 ^{2} - 5 ^{2}}{2} = 14, 08 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 2 ^{2} + 2 \cdot 5 ^{2} - 1 6 , 2 8 ^{2}}{2} = 4, 272 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 5 ^{2} + 2 \cdot 1 6 , 2 8 ^{2} - 1 2 ^{2}}{2} = 10, 44

#2 Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 5 b = 8,54440037453 c = 12

Obsah trojuholníka: S = 18
Obvod trojuholníka: o = 25,54440037453
Semiperimeter (poloobvod): s = 12,77220018727

Uhol ∠ A = α = 20,55660452196° = 20°33'22″ = 0,35987706703 rad
Uhol ∠ B = β = 36,87698976458° = 36°52'12″ = 0,64435011088 rad
Uhol ∠ C = γ = 122,57440571346° = 122°34'27″ = 2,13993208745 rad

Výška trojuholníka: v_a = 7,2
Výška trojuholníka: v_b = 4,21334812991
Výška trojuholníka: v_c = 3

Ťažnica: t_a = 10,11218742081
Ťažnica: t_b = 8,1399410298
Ťažnica: t_c = 3,60655512755

Polomer vpísanej kružnice: r = 1,40993327091
Polomer opísanej kružnice: R = 7,12200031211

Súradnice vrcholov: A[12; 0] B[0; 0] C[4; 3]
Ťažisko: T[5,33333333333; 1]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[6; -3,83333333333]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[4,22879981273; 1,40993327091]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 159,44439547804° = 159°26'38″ = 0,35987706703 rad
∠ B' = β' = 143,13301023542° = 143°7'48″ = 0,64435011088 rad
∠ C' = γ' = 57,42659428654° = 57°25'33″ = 2,13993208745 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

1. Zadané vstupné údaje: strany a, c a výška v_c.

a = 5 c = 12 v_{c} = 3

2. Zo strany c a výšky v_c vypočítame obsah S:

S = \frac{c v _{c}}{2} S = \frac{1 2 \cdot 3}{2} = 18

a = 5 b = 8, 54 c = 12

3. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 5 + 8, 54 + 12 = 25, 54

4. Polovičný obvod trojuholníka

s = \frac{o}{2} = \frac{2 5 , 5 4}{2} = 12, 77

5. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 12, 77 (12, 77 - 5) (12, 77 - 8, 54) (12, 77 - 12) S = 324 = 18

6. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 8}{5} = 7, 2 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 8}{8 , 5 4} = 4, 21 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 8}{1 2} = 3

7. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{8 , 5 4 ^{2} + 1 2 ^{2} - 5 ^{2}}{2 \cdot 8 , 5 4 \cdot 1 2}) = 20 ° 3 3^{'} 22 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{5 ^{2} + 1 2 ^{2} - 8 , 5 4 ^{2}}{2 \cdot 5 \cdot 1 2}) = 36 ° 5 2^{'} 12 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 20 ° 3 3^{'} 22 " - 36 ° 5 2^{'} 12 " = 122 ° 3 4^{'} 27 "

8. Polomer vpísanej kružnice

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 8}{1 2 , 7 7} = 1, 41

9. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{5 \cdot 8 , 5 4 \cdot 1 2}{4 \cdot 1 , 4 0 9 \cdot 1 2 , 7 7 2} = 7, 12

10. Výpočet ťažníc

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 8 , 5 4 ^{2} + 2 \cdot 1 2 ^{2} - 5 ^{2}}{2} = 10, 112 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 2 ^{2} + 2 \cdot 5 ^{2} - 8 , 5 4 ^{2}}{2} = 8, 139 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 5 ^{2} + 2 \cdot 8 , 5 4 ^{2} - 1 2 ^{2}}{2} = 3, 606

Vypočítať ďaľší trojuholník

Výpočet trojuholníka - výsledok

#1 Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

1. Zadané vstupné údaje: strany a, c a výška vc.

2. Zo strany c a výšky vc vypočítame obsah S:

3. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

4. Polovičný obvod trojuholníka

5. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

6. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

7. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

8. Polomer vpísanej kružnice

9. Polomer opísanej kružnice

10. Výpočet ťažníc

#2 Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

1. Zadané vstupné údaje: strany a, c a výška vc.

2. Zo strany c a výšky vc vypočítame obsah S:

3. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

4. Polovičný obvod trojuholníka

5. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

6. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

7. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

8. Polomer vpísanej kružnice

9. Polomer opísanej kružnice

10. Výpočet ťažníc

1. Zadané vstupné údaje: strany a, c a výška v_c.

2. Zo strany c a výšky v_c vypočítame obsah S:

1. Zadané vstupné údaje: strany a, c a výška v_c.

2. Zo strany c a výšky v_c vypočítame obsah S: