Výpočet trojuholníka - výsledok

Zadané strana a, výška v_b a obsah S.

Trojuholník má dve riešenia: a=52; b=31.42985714286; c=81.74330866668 a a=52; b=31.42985714286; c=26.48773174608.

#1 Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 52 b = 31,42985714286 c = 81,74330866668

Obsah trojuholníka: S = 330
Obvod trojuholníka: o = 165,17216580953
Semiperimeter (poloobvod): s = 82,58658290477

Uhol ∠ A = α = 14,88663440988° = 14°53'11″ = 0,26598157181 rad
Uhol ∠ B = β = 8,93224972946° = 8°55'57″ = 0,15659014882 rad
Uhol ∠ C = γ = 156,18111586065° = 156°10'52″ = 2,72658754473 rad

Výška trojuholníka: v_a = 12,69223076923
Výška trojuholníka: v_b = 21
Výška trojuholníka: v_c = 8,0744077294

Ťažnica: t_a = 56,20435911657
Ťažnica: t_b = 66,6798537277
Ťažnica: t_c = 13,24436587304

Polomer vpísanej kružnice: r = 3,99658429165
Polomer opísanej kružnice: R = 101,20657263493

Súradnice vrcholov: A[81,74330866668; 0] B[0; 0] C[51,36993417891; 8,0744077294]
Ťažisko: T[44,37108094853; 2,6911359098]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[40,87215433334; -92,58657223952]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[51,15772576191; 3,99658429165]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 165,11436559012° = 165°6'49″ = 0,26598157181 rad
∠ B' = β' = 171,06875027054° = 171°4'3″ = 0,15659014882 rad
∠ C' = γ' = 23,81988413935° = 23°49'8″ = 2,72658754473 rad

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Výpočet trojuholníka prebieha v dvoch fázach. Prvá fáza je taká, že zo vstupných parametrov sa snažíme vypočítať všetky tri strany trojuholníka. Prvá fáza prebieha rôzne pre rôzne zadané trojuholníky. Druhá fáza je vlastne výpočet ostatných charakteristík trojuholníka (z už vypočítaných strán, preto SSS), ako sú uhly, plocha, obvod, výšky, ťažnice, polomery kružníc atď. Niektoré vstupné vstupné údaje vedú aj v dvom až trom správnym riešeniam trojuholníka (napr. ak je zadaný obsah trojuholníka a dve strany - výsledkom je typicky ostrouhlý a aj tupouhlý trojuholník).

1. Zadané vstupné údaje: strana a, výška v_b a obsah S.

a = 52 v_{b} = 21 S = 330

2. Z obsahu S a strany a vypočítame výšku v_a - Obsah trojuholníka je daný súčinom dĺžky základne a výšky deleno dva.:

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 3 3 0}{5 2} = 12, 692

3. Z obsahu S a výšky v_b vypočítame stranu b:

S = \frac{b v _{b}}{2} b = \frac{2 S}{v _{b}} = \frac{2 \cdot 3 3 0}{2 1} = 31, 429

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený. Ďalej preto výpočet je rovnaký a dopočítajú sa ďaľšie jeho vlastnosti - vlastne výpočet trojuholníka zo známych troch strán SSS.

a = 52 b = 31, 43 c = 81, 74

4. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 52 + 31, 43 + 81, 74 = 165, 17

5. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{1 6 5 , 1 7}{2} = 82, 59

6. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 82, 59 (82, 59 - 52) (82, 59 - 31, 43) (82, 59 - 81, 74) S = 108900 = 330

7. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 3 3 0}{5 2} = 12, 69 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 3 3 0}{3 1 , 4 3} = 21 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 3 3 0}{8 1 , 7 4} = 8, 07

8. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{3 1 , 4 3 ^{2} + 8 1 , 7 4 ^{2} - 5 2 ^{2}}{2 \cdot 3 1 , 4 3 \cdot 8 1 , 7 4}) = 14 ° 5 3^{'} 11 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{5 2 ^{2} + 8 1 , 7 4 ^{2} - 3 1 , 4 3 ^{2}}{2 \cdot 5 2 \cdot 8 1 , 7 4}) = 8 ° 5 5^{'} 57 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 14 ° 5 3^{'} 11 " - 8 ° 5 5^{'} 57 " = 156 ° 1 0^{'} 52 "

9. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{3 3 0}{8 2 , 5 9} = 4

10. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{5 2 \cdot 3 1 , 4 3 \cdot 8 1 , 7 4}{4 \cdot 3 , 9 9 6 \cdot 8 2 , 5 8 6} = 101, 21

11. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 3 1 , 4 3 ^{2} + 2 \cdot 8 1 , 7 4 ^{2} - 5 2 ^{2}}{2} = 56, 204 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 8 1 , 7 4 ^{2} + 2 \cdot 5 2 ^{2} - 3 1 , 4 3 ^{2}}{2} = 66, 679 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 5 2 ^{2} + 2 \cdot 3 1 , 4 3 ^{2} - 8 1 , 7 4 ^{2}}{2} = 13, 244

#2 Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 52 b = 31,42985714286 c = 26,48773174608

Obsah trojuholníka: S = 330
Obvod trojuholníka: o = 109,91658888894
Semiperimeter (poloobvod): s = 54,95879444447

Uhol ∠ A = α = 127,54990151964° = 127°32'56″ = 2,22661502729 rad
Uhol ∠ B = β = 28,63221434101° = 28°37'56″ = 0.54997251744 rad
Uhol ∠ C = γ = 23,81988413935° = 23°49'8″ = 0,41657172063 rad

Výška trojuholníka: v_a = 12,69223076923
Výška trojuholníka: v_b = 21
Výška trojuholníka: v_c = 24,91875855945

Ťažnica: t_a = 12,98771684426
Ťažnica: t_b = 38,15656053238
Ťažnica: t_c = 40,87215433334

Polomer vpísanej kružnice: r = 6,00545913895
Polomer opísanej kružnice: R = 32,79438216182

Súradnice vrcholov: A[26,48773174608; 0] B[0; 0] C[45,6411142932; 24,91875855945]
Ťažisko: T[24,04328201309; 8,30658618648]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[13,24436587304; 30,00106706551]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[23,52993730161; 6,00545913895]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 52,45109848036° = 52°27'4″ = 2,22661502729 rad
∠ B' = β' = 151,36878565899° = 151°22'4″ = 0.54997251744 rad
∠ C' = γ' = 156,18111586065° = 156°10'52″ = 0,41657172063 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

1. Zadané vstupné údaje: strana a, výška v_b a obsah S.

a = 52 v_{b} = 21 S = 330

2. Z obsahu S a strany a vypočítame výšku v_a - Obsah trojuholníka je daný súčinom dĺžky základne a výšky deleno dva.:

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 3 3 0}{5 2} = 12, 692

3. Z obsahu S a výšky v_b vypočítame stranu b:

S = \frac{b v _{b}}{2} b = \frac{2 S}{v _{b}} = \frac{2 \cdot 3 3 0}{2 1} = 31, 429

a = 52 b = 31, 43 c = 26, 49

4. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 52 + 31, 43 + 26, 49 = 109, 92

5. Polovičný obvod trojuholníka

s = \frac{o}{2} = \frac{1 0 9 , 9 2}{2} = 54, 96

6. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 54, 96 (54, 96 - 52) (54, 96 - 31, 43) (54, 96 - 26, 49) S = 108900 = 330

7. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 3 3 0}{5 2} = 12, 69 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 3 3 0}{3 1 , 4 3} = 21 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 3 3 0}{2 6 , 4 9} = 24, 92

8. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{3 1 , 4 3 ^{2} + 2 6 , 4 9 ^{2} - 5 2 ^{2}}{2 \cdot 3 1 , 4 3 \cdot 2 6 , 4 9}) = 127 ° 3 2^{'} 56 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{5 2 ^{2} + 2 6 , 4 9 ^{2} - 3 1 , 4 3 ^{2}}{2 \cdot 5 2 \cdot 2 6 , 4 9}) = 28 ° 3 7^{'} 56 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 127 ° 3 2^{'} 56 " - 28 ° 3 7^{'} 56 " = 23 ° 4 9^{'} 8 "

9. Polomer vpísanej kružnice

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{3 3 0}{5 4 , 9 6} = 6

10. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{5 2 \cdot 3 1 , 4 3 \cdot 2 6 , 4 9}{4 \cdot 6 , 0 0 5 \cdot 5 4 , 9 5 8} = 32, 79

11. Výpočet ťažníc

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 3 1 , 4 3 ^{2} + 2 \cdot 2 6 , 4 9 ^{2} - 5 2 ^{2}}{2} = 12, 987 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 6 , 4 9 ^{2} + 2 \cdot 5 2 ^{2} - 3 1 , 4 3 ^{2}}{2} = 38, 156 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 5 2 ^{2} + 2 \cdot 3 1 , 4 3 ^{2} - 2 6 , 4 9 ^{2}}{2} = 40, 872

Vypočítať ďaľší trojuholník

Výpočet trojuholníka - výsledok

#1 Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

1. Zadané vstupné údaje: strana a, výška vb a obsah S.

2. Z obsahu S a strany a vypočítame výšku va - Obsah trojuholníka je daný súčinom dĺžky základne a výšky deleno dva.:

3. Z obsahu S a výšky vb vypočítame stranu b:

4. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

5. Polovičný obvod trojuholníka

6. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

7. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

8. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

9. Polomer vpísanej kružnice

10. Polomer opísanej kružnice

11. Výpočet ťažníc

#2 Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

1. Zadané vstupné údaje: strana a, výška vb a obsah S.

2. Z obsahu S a strany a vypočítame výšku va - Obsah trojuholníka je daný súčinom dĺžky základne a výšky deleno dva.:

3. Z obsahu S a výšky vb vypočítame stranu b:

4. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

5. Polovičný obvod trojuholníka

6. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

7. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

8. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

9. Polomer vpísanej kružnice

10. Polomer opísanej kružnice

11. Výpočet ťažníc

1. Zadané vstupné údaje: strana a, výška v_b a obsah S.

2. Z obsahu S a strany a vypočítame výšku v_a - Obsah trojuholníka je daný súčinom dĺžky základne a výšky deleno dva.:

3. Z obsahu S a výšky v_b vypočítame stranu b:

1. Zadané vstupné údaje: strana a, výška v_b a obsah S.

2. Z obsahu S a strany a vypočítame výšku v_a - Obsah trojuholníka je daný súčinom dĺžky základne a výšky deleno dva.:

3. Z obsahu S a výšky v_b vypočítame stranu b: