Výpočet trojuholníka - výsledok




Prosím prosím zadajte čo o trojuholníku viete:
Definícia symbolov ABC trojuholníka

Zadané strana a, b a uhol α.

Trojuholník má dve riešenia: a=60; b=102; c=56.72876299275 a a=60; b=102; c=119.94215524446.

#1 Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 60   b = 102   c = 56,72876299275

Obsah trojuholníka: S = 1446,55545631501
Obvod trojuholníka: o = 218,72876299275
Semiperimeter (poloobvod): s = 109,36438149637

Uhol ∠ A = α = 30° = 0,52435987756 rad
Uhol ∠ B = β = 121,78883306171° = 121°47'18″ = 2,12656073598 rad
Uhol ∠ C = γ = 28,21216693829° = 28°12'42″ = 0,49223865182 rad

Výška trojuholníka: va = 48,21884854383
Výška trojuholníka: vb = 28,36438149637
Výška trojuholníka: vc = 51

Ťažnica: ta = 76,88331060675
Ťažnica: tb = 28,42655518608
Ťažnica: tc = 78,72441640204

Polomer vpísanej kružnice: r = 13,22769943549
Polomer opísanej kružnice: R = 60

Súradnice vrcholov: A[56,72876299275; 0] B[0; 0] C[-31,60769612586; 51]
Ťažisko: T[8,3743556223; 17]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[28,36438149637; 52,87224313863]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[7,36438149637; 13,22769943549]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 150° = 0,52435987756 rad
∠ B' = β' = 58,21216693829° = 58°12'42″ = 2,12656073598 rad
∠ C' = γ' = 151,78883306171° = 151°47'18″ = 0,49223865182 rad




Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Výpočet trojuholníka prebieha v dvoch fázach. Prvá fáza je taká, že zo vstupných parametrov sa snažíme vypočítať všetky tri strany trojuholníka. Prvá fáza prebieha rôzne pre rôzne zadané trojuholníky. Druhá fáza je vlastne výpočet ostatných charakteristík trojuholníka (z už vypočítaných strán, preto SSS), ako sú uhly, plocha, obvod, výšky, ťažnice, polomery kružníc atď. Niektoré vstupné vstupné údaje vedú aj v dvom až trom správnym riešeniam trojuholníka (napr. ak je zadaný obsah trojuholníka a dve strany - výsledkom je typicky ostrouhlý a aj tupouhlý trojuholník).

1. Zadané vstupné údaje: strana a, b a uhol α.

a=60 b=102 α=30°

2. Z úhla α, strany b a strany a vypočítame stranu c - použitím kosínusovej vety a vzniknutej kvadratickej rovnice:

a2=b2+c22bccosα  602=1022+c22 102 c cos30°   c2176.669c+6804=0  p=1;q=176.669;r=6804 D=q24pr=176.6692416804=3996 D>0  c1,2=q±D2p=176.67±39962=176.67±61112 c1,2=88.33459119±31.606961258558 c1=119.94155244457 c2=56.727629927455   Sucinovy tvar rovnice:  (c119.94155244457)(c56.727629927455)=0   c>0  c=119.942

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený. Ďalej preto výpočet je rovnaký a dopočítajú sa ďaľšie jeho vlastnosti - vlastne výpočet trojuholníka zo známych troch strán SSS.

a=60 b=102 c=56.73

3. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o=a+b+c=60+102+56.73=218.73

4. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s=o2=218.732=109.36

5. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S=s(sa)(sb)(sc) S=109.36(109.3660)(109.36102)(109.3656.73) S=2092520.1=1446.55

6. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S=ava2  va=2 Sa=2 1446.5560=48.22 vb=2 Sb=2 1446.55102=28.36 vc=2 Sc=2 1446.5556.73=51

7. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a2=b2+c22bccosα  α=arccos(b2+c2a22bc)=arccos(1022+56.7326022 102 56.73)=30°  b2=a2+c22accosβ β=arccos(a2+c2b22ac)=arccos(602+56.73210222 60 56.73)=121°4718" γ=180°αβ=180°30°121°4718"=28°1242"

8. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S=rs r=Ss=1446.55109.36=13.23

9. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R=abc4 rs=60 102 56.734 13.227 109.364=60

10. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

ta=2b2+2c2a22=2 1022+2 56.7326022=76.883 tb=2c2+2a2b22=2 56.732+2 60210222=28.426 tc=2a2+2b2c22=2 602+2 102256.7322=78.724





#2 Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 60   b = 102   c = 119,94215524446

Obsah trojuholníka: S = 3058,51095873366
Obvod trojuholníka: o = 281,94215524446
Semiperimeter (poloobvod): s = 140,97107762223

Uhol ∠ A = α = 30° = 0,52435987756 rad
Uhol ∠ B = β = 58,21216693829° = 58°12'42″ = 1,01659852938 rad
Uhol ∠ C = γ = 91,78883306171° = 91°47'18″ = 1,60220085842 rad

Výška trojuholníka: va = 101,95503195779
Výška trojuholníka: vb = 59,97107762223
Výška trojuholníka: vc = 51

Ťažnica: ta = 107,2154681837
Ťažnica: tb = 79,95499093271
Ťažnica: tc = 58,35767134038

Polomer vpísanej kružnice: r = 21,69660540993
Polomer opísanej kružnice: R = 60

Súradnice vrcholov: A[119,94215524446; 0] B[0; 0] C[31,60769612586; 51]
Ťažisko: T[50,51661712344; 17]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[59,97107762223; -1,87224313863]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[38,97107762223; 21,69660540993]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 150° = 0,52435987756 rad
∠ B' = β' = 121,78883306171° = 121°47'18″ = 1,01659852938 rad
∠ C' = γ' = 88,21216693829° = 88°12'42″ = 1,60220085842 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Výpočet trojuholníka prebieha v dvoch fázach. Prvá fáza je taká, že zo vstupných parametrov sa snažíme vypočítať všetky tri strany trojuholníka. Prvá fáza prebieha rôzne pre rôzne zadané trojuholníky. Druhá fáza je vlastne výpočet ostatných charakteristík trojuholníka (z už vypočítaných strán, preto SSS), ako sú uhly, plocha, obvod, výšky, ťažnice, polomery kružníc atď. Niektoré vstupné vstupné údaje vedú aj v dvom až trom správnym riešeniam trojuholníka (napr. ak je zadaný obsah trojuholníka a dve strany - výsledkom je typicky ostrouhlý a aj tupouhlý trojuholník).

1. Zadané vstupné údaje: strana a, b a uhol α.

a=60 b=102 α=30°

2. Z úhla α, strany b a strany a vypočítame stranu c - použitím kosínusovej vety a vzniknutej kvadratickej rovnice:

a2=b2+c22bccosα  602=1022+c22 102 c cos30°   c2176.669c+6804=0  p=1;q=176.669;r=6804 D=q24pr=176.6692416804=3996 D>0  c1,2=q±D2p=176.67±39962=176.67±61112 c1,2=88.33459119±31.606961258558 c1=119.94155244457 c2=56.727629927455   Sucinovy tvar rovnice:  (c119.94155244457)(c56.727629927455)=0   c>0  c=119.942

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený. Ďalej preto výpočet je rovnaký a dopočítajú sa ďaľšie jeho vlastnosti - vlastne výpočet trojuholníka zo známych troch strán SSS.

a=60 b=102 c=119.94

3. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o=a+b+c=60+102+119.94=281.94

4. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s=o2=281.942=140.97

5. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S=s(sa)(sb)(sc) S=140.97(140.9760)(140.97102)(140.97119.94) S=9354480.9=3058.51

6. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S=ava2  va=2 Sa=2 3058.5160=101.95 vb=2 Sb=2 3058.51102=59.97 vc=2 Sc=2 3058.51119.94=51

7. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a2=b2+c22bccosα  α=arccos(b2+c2a22bc)=arccos(1022+119.9426022 102 119.94)=30°  b2=a2+c22accosβ β=arccos(a2+c2b22ac)=arccos(602+119.94210222 60 119.94)=58°1242" γ=180°αβ=180°30°58°1242"=91°4718"

8. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S=rs r=Ss=3058.51140.97=21.7

9. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R=abc4 rs=60 102 119.944 21.696 140.971=60

10. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

ta=2b2+2c2a22=2 1022+2 119.9426022=107.215 tb=2c2+2a2b22=2 119.942+2 60210222=79.95 tc=2a2+2b2c22=2 602+2 1022119.9422=58.357

Vypočítať ďaľší trojuholník