Výpočet trojuholníka - výsledok
Trojuholník má dve riešenia: a=60; b=102; c=56.72876299275 a a=60; b=102; c=119.94215524446.
#1 Tupouhlý rôznostranný trojuholník.
Strany: a = 60 b = 102 c = 56,72876299275Obsah trojuholníka: S = 1446,55545631501
Obvod trojuholníka: o = 218,72876299275
Semiperimeter (poloobvod): s = 109,36438149637
Uhol ∠ A = α = 30° = 0,52435987756 rad
Uhol ∠ B = β = 121,78883306171° = 121°47'18″ = 2,12656073598 rad
Uhol ∠ C = γ = 28,21216693829° = 28°12'42″ = 0,49223865182 rad
Výška trojuholníka: va = 48,21884854383
Výška trojuholníka: vb = 28,36438149637
Výška trojuholníka: vc = 51
Ťažnica: ta = 76,88331060675
Ťažnica: tb = 28,42655518608
Ťažnica: tc = 78,72441640204
Polomer vpísanej kružnice: r = 13,22769943549
Polomer opísanej kružnice: R = 60
Súradnice vrcholov: A[56,72876299275; 0] B[0; 0] C[-31,60769612586; 51]
Ťažisko: T[8,3743556223; 17]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[28,36438149637; 52,87224313863]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[7,36438149637; 13,22769943549]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 150° = 0,52435987756 rad
∠ B' = β' = 58,21216693829° = 58°12'42″ = 2,12656073598 rad
∠ C' = γ' = 151,78883306171° = 151°47'18″ = 0,49223865182 rad
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Výpočet trojuholníka prebieha v dvoch fázach. Prvá fáza je taká, že zo vstupných parametrov sa snažíme vypočítať všetky tri strany trojuholníka. Prvá fáza prebieha rôzne pre rôzne zadané trojuholníky. Druhá fáza je vlastne výpočet ostatných charakteristík trojuholníka (z už vypočítaných strán, preto SSS), ako sú uhly, plocha, obvod, výšky, ťažnice, polomery kružníc atď. Niektoré vstupné vstupné údaje vedú aj v dvom až trom správnym riešeniam trojuholníka (napr. ak je zadaný obsah trojuholníka a dve strany - výsledkom je typicky ostrouhlý a aj tupouhlý trojuholník).1. Zadané vstupné údaje: strany a, b a uhol α.
a=60 b=102 α=30°
2. Z úhla α, strany b a strany a vypočítame stranu c - použitím kosínusovej vety a vzniknutej kvadratickej rovnice:
a2=b2+c2−2bccosα 602=1022+c2−2⋅ 102⋅ c⋅ cos30° c2−176,669c+6804=0 p=1;q=−176,669;r=6804 D=q2−4pr=176,6692−4⋅1⋅6804=3996 D>0 c1,2=2p−q±D=2176,67±3996=2176,67±6111 c1,2=88,334591±31,606961 c1=119,941552445 c2=56,727629927 c>0 c=119,942
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený. Ďalej preto výpočet je rovnaký a dopočítajú sa ďaľšie jeho vlastnosti - vlastne výpočet trojuholníka zo známych troch strán SSS.
a=60 b=102 c=56,73
3. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=60+102+56,73=218,73
4. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=2218,73=109,36
5. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=109,36(109,36−60)(109,36−102)(109,36−56,73) S=2092520,1=1446,55
6. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=602⋅ 1446,55=48,22 vb=b2 S=1022⋅ 1446,55=28,36 vc=c2 S=56,732⋅ 1446,55=51
7. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 102⋅ 56,731022+56,732−602)=30° b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 60⋅ 56,73602+56,732−1022)=121°47′18" γ=180°−α−β=180°−30°−121°47′18"=28°12′42"
8. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=109,361446,55=13,23
9. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 13,227⋅ 109,36460⋅ 102⋅ 56,73=60
10. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 1022+2⋅ 56,732−602=76,883 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 56,732+2⋅ 602−1022=28,426 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 602+2⋅ 1022−56,732=78,724
#2 Tupouhlý rôznostranný trojuholník.
Strany: a = 60 b = 102 c = 119,94215524446Obsah trojuholníka: S = 3058,51095873366
Obvod trojuholníka: o = 281,94215524446
Semiperimeter (poloobvod): s = 140,97107762223
Uhol ∠ A = α = 30° = 0,52435987756 rad
Uhol ∠ B = β = 58,21216693829° = 58°12'42″ = 1,01659852938 rad
Uhol ∠ C = γ = 91,78883306171° = 91°47'18″ = 1,60220085842 rad
Výška trojuholníka: va = 101,95503195779
Výška trojuholníka: vb = 59,97107762223
Výška trojuholníka: vc = 51
Ťažnica: ta = 107,2154681837
Ťažnica: tb = 79,95499093271
Ťažnica: tc = 58,35767134038
Polomer vpísanej kružnice: r = 21,69660540993
Polomer opísanej kružnice: R = 60
Súradnice vrcholov: A[119,94215524446; 0] B[0; 0] C[31,60769612586; 51]
Ťažisko: T[50,51661712344; 17]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[59,97107762223; -1,87224313863]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[38,97107762223; 21,69660540993]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 150° = 0,52435987756 rad
∠ B' = β' = 121,78883306171° = 121°47'18″ = 1,01659852938 rad
∠ C' = γ' = 88,21216693829° = 88°12'42″ = 1,60220085842 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Výpočet trojuholníka prebieha v dvoch fázach. Prvá fáza je taká, že zo vstupných parametrov sa snažíme vypočítať všetky tri strany trojuholníka. Prvá fáza prebieha rôzne pre rôzne zadané trojuholníky. Druhá fáza je vlastne výpočet ostatných charakteristík trojuholníka (z už vypočítaných strán, preto SSS), ako sú uhly, plocha, obvod, výšky, ťažnice, polomery kružníc atď. Niektoré vstupné vstupné údaje vedú aj v dvom až trom správnym riešeniam trojuholníka (napr. ak je zadaný obsah trojuholníka a dve strany - výsledkom je typicky ostrouhlý a aj tupouhlý trojuholník).1. Zadané vstupné údaje: strany a, b a uhol α.
a=60 b=102 α=30°
2. Z úhla α, strany b a strany a vypočítame stranu c - použitím kosínusovej vety a vzniknutej kvadratickej rovnice:
a2=b2+c2−2bccosα 602=1022+c2−2⋅ 102⋅ c⋅ cos30° c2−176,669c+6804=0 p=1;q=−176,669;r=6804 D=q2−4pr=176,6692−4⋅1⋅6804=3996 D>0 c1,2=2p−q±D=2176,67±3996=2176,67±6111 c1,2=88,334591±31,606961 c1=119,941552445 c2=56,727629927 c>0 c=119,942
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený. Ďalej preto výpočet je rovnaký a dopočítajú sa ďaľšie jeho vlastnosti - vlastne výpočet trojuholníka zo známych troch strán SSS.
a=60 b=102 c=119,94
3. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=60+102+119,94=281,94
4. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=2281,94=140,97
5. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=140,97(140,97−60)(140,97−102)(140,97−119,94) S=9354480,9=3058,51
6. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=602⋅ 3058,51=101,95 vb=b2 S=1022⋅ 3058,51=59,97 vc=c2 S=119,942⋅ 3058,51=51
7. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 102⋅ 119,941022+119,942−602)=30° b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 60⋅ 119,94602+119,942−1022)=58°12′42" γ=180°−α−β=180°−30°−58°12′42"=91°47′18"
8. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=140,973058,51=21,7
9. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 21,696⋅ 140,97160⋅ 102⋅ 119,94=60
10. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 1022+2⋅ 119,942−602=107,215 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 119,942+2⋅ 602−1022=79,95 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 602+2⋅ 1022−119,942=58,357
Vypočítať ďaľší trojuholník