Výpočet trojuholníka - výsledok

Prosím prosím zadajte čo o trojuholníku viete:
Definícia symbolov ABC trojuholníka

Zadané strana a, uhol β a uhol γ.

Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 3   b = 1.34992228812   c = 2.25774619579

Obsah trojuholníka: S = 1.43110669729
Obvod trojuholníka: o = 6.60766848391
Semiperimeter (poloobvod): s = 3.30333424195

Uhol ∠ A = α = 110° = 1.92198621772 rad
Uhol ∠ B = β = 25° = 0.4366332313 rad
Uhol ∠ C = γ = 45° = 0.78553981634 rad

Výška trojuholníka: va = 0.95440446486
Výška trojuholníka: vb = 2.12113203436
Výška trojuholníka: vc = 1.26878547852

Ťažnica: ta = 1.09992126442
Ťažnica: tb = 2.5687677287
Ťažnica: tc = 2.03437570083

Polomer vpísanej kružnice: r = 0.43332178718
Polomer opísanej kružnice: R = 1.59662666587

Súradnice vrcholov: A[2.25774619579; 0] B[0; 0] C[2.71989233611; 1.26878547852]
Ťažisko: T[1.65987951063; 0.42326182617]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[1.1298730979; 1.1298730979]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[1.95441195384; 0.43332178718]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 70° = 1.92198621772 rad
∠ B' = β' = 155° = 0.4366332313 rad
∠ C' = γ' = 135° = 0.78553981634 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník




Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Výpočet trojuholníka prebieha v dvoch fázach. Prvá fáza je taká, že zo vstupných parametrov sa snažíme vypočítať všetky tri strany trojuholníka. Prvá fáza prebieha rôzne pre rôzne zadané trojuholníky. Druhá fáza je vlastne výpočet ostatných charakteristík trojuholníka (z už vypočítaných strán, preto SSS), ako sú uhly, plocha, obvod, výšky, ťažnice, polomery kružníc atď. Niektoré vstupné vstupné údaje vedú aj v dvom až trom správnym riešeniam trojuholníka (napr. ak je zadaný obsah trojuholníka a dve strany - výsledkom je typicky ostrouhlý a aj tupouhlý trojuholník).

1. Zadané vstupné údaje: strana a, uhol β a uhol γ.

a=3 β=25 γ=45a = 3 \ \\ β = 25^\circ \ \\ γ = 45^\circ

2. Z úhla β a úhla γ vypočítame uhol α:

β+γ+α=180 α=180βγ=1802545=110β + γ + α = 180^\circ \ \\ α = 180^\circ - β - γ = 180^\circ - 25 ^\circ - 45 ^\circ = 110 ^\circ

3. Z úhla β, úhla α a strany a vypočítame stranu b - Použitím sínusovej vety vypočítame neznámu stranu b:

 ba=sinβsinα  b=a sinβsinα  b=3 sin25sin110=1.35 \ \\ \dfrac{ b }{ a } = \dfrac{ \sin β }{ \sin α } \ \\ \ \\ b = a \cdot \ \dfrac{ \sin β }{ \sin α } \ \\ \ \\ b = 3 \cdot \ \dfrac{ \sin 25^\circ }{ \sin 110^\circ } = 1.35

4. Z úhla γ, úhla α a strany a vypočítame stranu c - Použitím sínusovej vety vypočítame neznámu stranu c:

 ca=sinγsinα  c=a sinγsinα  c=3 sin45sin110=2.26 \ \\ \dfrac{ c }{ a } = \dfrac{ \sin γ }{ \sin α } \ \\ \ \\ c = a \cdot \ \dfrac{ \sin γ }{ \sin α } \ \\ \ \\ c = 3 \cdot \ \dfrac{ \sin 45^\circ }{ \sin 110^\circ } = 2.26

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený. Ďalej preto výpočet je rovnaký a dopočítajú sa ďaľšie jeho vlastnosti - vlastne výpočet trojuholníka zo známych troch strán SSS.

a=3 b=1.35 c=2.26a = 3 \ \\ b = 1.35 \ \\ c = 2.26

5. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o=a+b+c=3+1.35+2.26=6.61o = a+b+c = 3+1.35+2.26 = 6.61

6. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s=o2=6.612=3.3s = \dfrac{ o }{ 2 } = \dfrac{ 6.61 }{ 2 } = 3.3

7. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S=s(sa)(sb)(sc) S=3.3(3.33)(3.31.35)(3.32.26) S=2.05=1.43S = \sqrt{ s(s-a)(s-b)(s-c) } \ \\ S = \sqrt{ 3.3(3.3-3)(3.3-1.35)(3.3-2.26) } \ \\ S = \sqrt{ 2.05 } = 1.43

8. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S=ava2  va=2 Sa=2 1.433=0.95 vb=2 Sb=2 1.431.35=2.12 vc=2 Sc=2 1.432.26=1.27S = \dfrac{ a v _a }{ 2 } \ \\ \ \\ v _a = \dfrac{ 2 \ S }{ a } = \dfrac{ 2 \cdot \ 1.43 }{ 3 } = 0.95 \ \\ v _b = \dfrac{ 2 \ S }{ b } = \dfrac{ 2 \cdot \ 1.43 }{ 1.35 } = 2.12 \ \\ v _c = \dfrac{ 2 \ S }{ c } = \dfrac{ 2 \cdot \ 1.43 }{ 2.26 } = 1.27

9. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a2=b2+c22bccosα  α=arccos(b2+c2a22bc)=arccos(1.352+2.262322 1.35 2.26)=110  b2=a2+c22accosβ β=arccos(a2+c2b22ac)=arccos(32+2.2621.3522 3 2.26)=25 γ=180αβ=18011025=45a^2 = b^2+c^2 - 2bc \cos α \ \\ \ \\ α = \arccos(\dfrac{ b^2+c^2-a^2 }{ 2bc } ) = \arccos(\dfrac{ 1.35^2+2.26^2-3^2 }{ 2 \cdot \ 1.35 \cdot \ 2.26 } ) = 110^\circ \ \\ \ \\ b^2 = a^2+c^2 - 2ac \cos β \ \\ β = \arccos(\dfrac{ a^2+c^2-b^2 }{ 2ac } ) = \arccos(\dfrac{ 3^2+2.26^2-1.35^2 }{ 2 \cdot \ 3 \cdot \ 2.26 } ) = 25^\circ \ \\ γ = 180^\circ - α - β = 180^\circ - 110^\circ - 25^\circ = 45^\circ

10. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S=rs r=Ss=1.433.3=0.43S = rs \ \\ r = \dfrac{ S }{ s } = \dfrac{ 1.43 }{ 3.3 } = 0.43

11. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R=abc4 rs=3 1.35 2.264 0.433 3.303=1.6R = \dfrac{ a b c }{ 4 \ r s } = \dfrac{ 3 \cdot \ 1.35 \cdot \ 2.26 }{ 4 \cdot \ 0.433 \cdot \ 3.303 } = 1.6

12. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

ta=2b2+2c2a22=2 1.352+2 2.262322=1.099 tb=2c2+2a2b22=2 2.262+2 321.3522=2.568 tc=2a2+2b2c22=2 32+2 1.3522.2622=2.034t_a = \dfrac{ \sqrt{ 2b^2+2c^2 - a^2 } }{ 2 } = \dfrac{ \sqrt{ 2 \cdot \ 1.35^2+2 \cdot \ 2.26^2 - 3^2 } }{ 2 } = 1.099 \ \\ t_b = \dfrac{ \sqrt{ 2c^2+2a^2 - b^2 } }{ 2 } = \dfrac{ \sqrt{ 2 \cdot \ 2.26^2+2 \cdot \ 3^2 - 1.35^2 } }{ 2 } = 2.568 \ \\ t_c = \dfrac{ \sqrt{ 2a^2+2b^2 - c^2 } }{ 2 } = \dfrac{ \sqrt{ 2 \cdot \ 3^2+2 \cdot \ 1.35^2 - 2.26^2 } }{ 2 } = 2.034

Vypočítať ďaľší trojuholník