Výpočet trojuholníka SSS - výsledok

Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 5,5 b = 5,3 c = 7,8

Obsah trojuholníka: S = 14,56215933194
Obvod trojuholníka: o = 18,6
Semiperimeter (poloobvod): s = 9,3

Uhol ∠ A = α = 44,78875169949° = 44°47'15″ = 0,78216896354 rad
Uhol ∠ B = β = 42,75547920255° = 42°45'17″ = 0,74662118919 rad
Uhol ∠ C = γ = 92,45876909797° = 92°27'28″ = 1,61436911264 rad

Výška trojuholníka: v_a = 5,29551248434
Výška trojuholníka: v_b = 5,49549408753
Výška trojuholníka: v_c = 3,73437418768

Ťažnica: t_a = 6,07547427929
Ťažnica: t_b = 6,20766496598
Ťažnica: t_c = 3,73663083385

Polomer vpísanej kružnice: r = 1,56657627225
Polomer opísanej kružnice: R = 3,90435906822

Súradnice vrcholov: A[7,8; 0] B[0; 0] C[4,03884615385; 3,73437418768]
Ťažisko: T[3,94661538462; 1,24545806256]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[3,9; -0,16773923963]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[4; 1,56657627225]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 135,21224830052° = 135°12'45″ = 0,78216896354 rad
∠ B' = β' = 137,24552079745° = 137°14'43″ = 0,74662118919 rad
∠ C' = γ' = 87,54223090203° = 87°32'32″ = 1,61436911264 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 5, 5 b = 5, 3 c = 7, 8

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 5, 5 + 5, 3 + 7, 8 = 18, 6

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{1 8 , 6}{2} = 9, 3

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 9, 3 (9, 3 - 5, 5) (9, 3 - 5, 3) (9, 3 - 7, 8) S = 212, 04 = 14, 56

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 4 , 5 6}{5 , 5} = 5, 3 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 4 , 5 6}{5 , 3} = 5, 49 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 4 , 5 6}{7 , 8} = 3, 73

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{5 , 3 ^{2} + 7 , 8 ^{2} - 5 , 5 ^{2}}{2 \cdot 5 , 3 \cdot 7 , 8}) = 44 ° 4 7^{'} 15 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{5 , 5 ^{2} + 7 , 8 ^{2} - 5 , 3 ^{2}}{2 \cdot 5 , 5 \cdot 7 , 8}) = 42 ° 4 5^{'} 17 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 44 ° 4 7^{'} 15 " - 42 ° 4 5^{'} 17 " = 92 ° 2 7^{'} 28 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 4 , 5 6}{9 , 3} = 1, 57

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{5 , 5 \cdot 5 , 3 \cdot 7 , 8}{4 \cdot 1 , 5 6 6 \cdot 9 , 3} = 3, 9

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 5 , 3 ^{2} + 2 \cdot 7 , 8 ^{2} - 5 , 5 ^{2}}{2} = 6, 075 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 7 , 8 ^{2} + 2 \cdot 5 , 5 ^{2} - 5 , 3 ^{2}}{2} = 6, 207 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 5 , 5 ^{2} + 2 \cdot 5 , 3 ^{2} - 7 , 8 ^{2}}{2} = 3, 736

Vypočítať ďaľší trojuholník