Výpočet trojuholníka - výsledok




Prosím prosím zadajte čo o trojuholníku viete:
Definícia symbolov ABC trojuholníka

Zadané strany a, b a uhol α.

Trojuholník má dve riešenia: a=13; b=14; c=2.21113544315 a a=13; b=14; c=12.2109711666.

#1 Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 13   b = 14   c = 2,21113544315

Obsah trojuholníka: S = 13,26985049627
Obvod trojuholníka: o = 29,21113544315
Semiperimeter (poloobvod): s = 14,60656772158

Uhol ∠ A = α = 59° = 1,03297442587 rad
Uhol ∠ B = β = 112,61659431901° = 112°36'57″ = 1,96655189989 rad
Uhol ∠ C = γ = 8,38440568099° = 8°23'3″ = 0,1466329396 rad

Výška trojuholníka: va = 2,04113084558
Výška trojuholníka: vb = 1,8965500709
Výška trojuholníka: vc = 122,0003422098

Ťažnica: ta = 7,62985676382
Ťažnica: tb = 6,16599548871
Ťažnica: tc = 13,46439324825

Polomer vpísanej kružnice: r = 0,90884484592
Polomer opísanej kružnice: R = 7,58331170819

Súradnice vrcholov: A[2,21113544315; 0] B[0; 0] C[-4,99991786172; 122,0003422098]
Ťažisko: T[-0,92992747286; 44,0001140699]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[1,10656772158; 7,50220758842]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[0,60656772158; 0,90884484592]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 121° = 1,03297442587 rad
∠ B' = β' = 67,38440568099° = 67°23'3″ = 1,96655189989 rad
∠ C' = γ' = 171,61659431901° = 171°36'57″ = 0,1466329396 rad

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Výpočet trojuholníka prebieha v dvoch fázach. Prvá fáza je taká, že zo vstupných parametrov sa snažíme vypočítať všetky tri strany trojuholníka. Prvá fáza prebieha rôzne pre rôzne zadané trojuholníky. Druhá fáza je vlastne výpočet ostatných charakteristík trojuholníka (z už vypočítaných strán, preto SSS), ako sú uhly, plocha, obvod, výšky, ťažnice, polomery kružníc atď. Niektoré vstupné vstupné údaje vedú aj v dvom až trom správnym riešeniam trojuholníka (napr. ak je zadaný obsah trojuholníka a dve strany - výsledkom je typicky ostrouhlý a aj tupouhlý trojuholník).

1. Zadané vstupné údaje: strany a, b a uhol α.

a=13 b=14 α=59°

2. Z úhla α, strany b a strany a vypočítame stranu c - použitím kosínusovej vety a vzniknutej kvadratickej rovnice:

a2=b2+c22bccosα  132=142+c22 14 c cos59°   c214,421c+27=0  p=1;q=14,421;r=27 D=q24pr=14,42124127=99,9671473879 D>0  c1,2=2pq±D=214,42±99,97 c1,2=7,210533±4,999179 c1=12,209711666 c2=2,211354432   c>0  c=12,21

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený. Ďalej preto výpočet je rovnaký a dopočítajú sa ďaľšie jeho vlastnosti - vlastne výpočet trojuholníka zo známych troch strán SSS.
a=13 b=14 c=2,21

3. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o=a+b+c=13+14+2,21=29,21

4. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s=2o=229,21=14,61

5. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S=s(sa)(sb)(sc) S=14,61(14,6113)(14,6114)(14,612,21) S=176,05=13,27

6. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S=2ava  va=a2 S=132 13,27=2,04 vb=b2 S=142 13,27=1,9 vc=c2 S=2,212 13,27=12

7. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a2=b2+c22bccosα  α=arccos(2bcb2+c2a2)=arccos(2 14 2,21142+2,212132)=59°  b2=a2+c22accosβ β=arccos(2aca2+c2b2)=arccos(2 13 2,21132+2,212142)=112°3657" γ=180°αβ=180°59°112°3657"=8°233"

8. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S=rs r=sS=14,6113,27=0,91

9. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R=4 rsabc=4 0,908 14,60613 14 2,21=7,58

10. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

ta=22b2+2c2a2=22 142+2 2,212132=7,629 tb=22c2+2a2b2=22 2,212+2 132142=6,16 tc=22a2+2b2c2=22 132+2 1422,212=13,464


#2 Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 13   b = 14   c = 12,2109711666

Obsah trojuholníka: S = 73,26603591375
Obvod trojuholníka: o = 39,2109711666
Semiperimeter (poloobvod): s = 19,6054855833

Uhol ∠ A = α = 59° = 1,03297442587 rad
Uhol ∠ B = β = 67,38440568099° = 67°23'3″ = 1,17660736547 rad
Uhol ∠ C = γ = 53,61659431901° = 53°36'57″ = 0,93657747402 rad

Výška trojuholníka: va = 11,27108244827
Výška trojuholníka: vb = 10,46657655911
Výška trojuholníka: vc = 122,0003422098

Ťažnica: ta = 11,4144400093
Ťažnica: tb = 10,49899251419
Ťažnica: tc = 12,05111715305

Polomer vpísanej kružnice: r = 3,73768476342
Polomer opísanej kružnice: R = 7,58331170819

Súradnice vrcholov: A[12,2109711666; 0] B[0; 0] C[4,99991786172; 122,0003422098]
Ťažisko: T[5,73662967611; 44,0001140699]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[6,1054855833; 4,49882663256]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[5,6054855833; 3,73768476342]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 121° = 1,03297442587 rad
∠ B' = β' = 112,61659431901° = 112°36'57″ = 1,17660736547 rad
∠ C' = γ' = 126,38440568099° = 126°23'3″ = 0,93657747402 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Výpočet trojuholníka prebieha v dvoch fázach. Prvá fáza je taká, že zo vstupných parametrov sa snažíme vypočítať všetky tri strany trojuholníka. Prvá fáza prebieha rôzne pre rôzne zadané trojuholníky. Druhá fáza je vlastne výpočet ostatných charakteristík trojuholníka (z už vypočítaných strán, preto SSS), ako sú uhly, plocha, obvod, výšky, ťažnice, polomery kružníc atď. Niektoré vstupné vstupné údaje vedú aj v dvom až trom správnym riešeniam trojuholníka (napr. ak je zadaný obsah trojuholníka a dve strany - výsledkom je typicky ostrouhlý a aj tupouhlý trojuholník).

1. Zadané vstupné údaje: strany a, b a uhol α.

a=13 b=14 α=59°

2. Z úhla α, strany b a strany a vypočítame stranu c - použitím kosínusovej vety a vzniknutej kvadratickej rovnice:

a2=b2+c22bccosα  132=142+c22 14 c cos59°   c214,421c+27=0  p=1;q=14,421;r=27 D=q24pr=14,42124127=99,9671473879 D>0  c1,2=2pq±D=214,42±99,97 c1,2=7,210533±4,999179 c1=12,209711666 c2=2,211354432   c>0  c=12,21

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený. Ďalej preto výpočet je rovnaký a dopočítajú sa ďaľšie jeho vlastnosti - vlastne výpočet trojuholníka zo známych troch strán SSS.
a=13 b=14 c=12,21

3. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o=a+b+c=13+14+12,21=39,21

4. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s=2o=239,21=19,6

5. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S=s(sa)(sb)(sc) S=19,6(19,613)(19,614)(19,612,21) S=5367,08=73,26

6. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S=2ava  va=a2 S=132 73,26=11,27 vb=b2 S=142 73,26=10,47 vc=c2 S=12,212 73,26=12

7. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a2=b2+c22bccosα  α=arccos(2bcb2+c2a2)=arccos(2 14 12,21142+12,212132)=59°  b2=a2+c22accosβ β=arccos(2aca2+c2b2)=arccos(2 13 12,21132+12,212142)=67°233" γ=180°αβ=180°59°67°233"=53°3657"

8. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S=rs r=sS=19,673,26=3,74

9. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R=4 rsabc=4 3,737 19,60513 14 12,21=7,58

10. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

ta=22b2+2c2a2=22 142+2 12,212132=11,414 tb=22c2+2a2b2=22 12,212+2 132142=10,49 tc=22a2+2b2c2=22 132+2 14212,212=12,051

Vypočítať ďaľší trojuholník