Pravouhlý trojuholník kalkulačka (B,b) - výsledok

Zadané odvesna b a uhol β.

Pravouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 678,59990198174 b = 838 c = 1078,30545162185

Obsah trojuholníka: S = 284332,98993035
Obvod trojuholníka: o = 2594,90435360359
Semiperimeter (poloobvod): s = 1297,4521768018

Uhol ∠ A = α = 39° = 0,68106784083 rad
Uhol ∠ B = β = 51° = 0,89901179185 rad
Uhol ∠ C = γ = 90° = 1,57107963268 rad

Výška trojuholníka: v_a = 838
Výška trojuholníka: v_b = 678,59990198174
Výška trojuholníka: v_c = 527,37704876998

Ťažnica: t_a = 904,08441539504
Ťažnica: t_b = 797,53222123257
Ťažnica: t_c = 539,15222581092

Úsek c_a = 651,24883157009
Úsek c_b = 427,05662005175

Polomer vpísanej kružnice: r = 219,14772517995
Polomer opísanej kružnice: R = 539,15222581092

Súradnice vrcholov: A[1078,30545162185; 0] B[0; 0] C[427,05662005175; 527,37704876998]
Ťažisko: T[501,78769055787; 175,79901625666]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[539,15222581092; -0]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[459,45217680179; 219,14772517995]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 141° = 0,68106784083 rad
∠ B' = β' = 129° = 0,89901179185 rad
∠ C' = γ' = 90° = 1,57107963268 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Výpočet trojuholníka prebieha v dvoch fázach. Prvá fáza je taká, že zo vstupných parametrov sa snažíme vypočítať všetky tri strany trojuholníka. Prvá fáza prebieha rôzne pre rôzne zadané trojuholníky. Druhá fáza je vlastne výpočet ostatných charakteristík trojuholníka (z už vypočítaných strán, preto SSS), ako sú uhly, plocha, obvod, výšky, ťažnice, polomery kružníc atď. Niektoré vstupné vstupné údaje vedú aj v dvom až trom správnym riešeniam trojuholníka (napr. ak je zadaný obsah trojuholníka a dve strany - výsledkom je typicky ostrouhlý a aj tupouhlý trojuholník).

1. Zadané vstupné údaje: odvesna b a uhol β

b = 838 β = 51 °

2. Z úhla β vypočítame uhol α:

α + β + 90 ° = 180 ° α = 90 ° - β = 90 ° - 51 ° = 39 °

3. Z odvesny b a úhla α vypočítame preponu c:

cos α = b : c c = b / cos α = 838 / cos (39 °) = 1078, 305

4. Z prepony c a úhla α vypočítame odvesnu a:

sin α = a : c a = c \cdot sin α = 1078, 305 \cdot sin (39 °) = 678, 599

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený. Ďalej preto výpočet je rovnaký a dopočítajú sa ďaľšie jeho vlastnosti - vlastne výpočet trojuholníka zo známych troch strán SSS.

a = 678, 6 b = 838 c = 1078, 3

5. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 678, 6 + 838 + 1078, 3 = 2594, 9

6. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{2 5 9 4 , 9}{2} = 1297, 45

7. Obsah trojuholníka

S = \frac{a b}{2} = \frac{6 7 8 , 6 \cdot 8 3 8}{2} = 284332, 99

8. Výpočet výšiek pravoúhleho trojuholníku z jeho obsahu.

v_{a} = b = 838 v_{b} = a = 678, 6 S = \frac{c v _{c}}{2} v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 2 8 4 3 3 2 , 9 9}{1 0 7 8 , 3} = 527, 37

9. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka - základné použitie sínus funkcie

sin α = \frac{a}{c} α = arcsin (\frac{a}{c}) = arcsin (\frac{6 7 8 , 6}{1 0 7 8 , 3}) = 39 ° sin β = \frac{b}{c} β = arcsin (\frac{b}{c}) = arcsin (\frac{8 3 8}{1 0 7 8 , 3}) = 51 ° γ = 90 °

10. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{2 8 4 3 3 2 , 9 9}{1 2 9 7 , 4 5} = 219, 15

11. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{c}{2} = \frac{1 0 7 8 , 3}{2} = 539, 15

12. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a}^{2} = b^{2} + (a / 2)^{2} t_{a} = b^{2} + (a / 2)^{2} = 83 8^{2} + (678, 6 / 2)^{2} = 904, 084 t_{b}^{2} = a^{2} + (b / 2)^{2} t_{b} = a^{2} + (b / 2)^{2} = 678, 6^{2} + (838 / 2)^{2} = 797, 532 t_{c} = R = \frac{c}{2} = \frac{1 0 7 8 , 3}{2} = 539, 152

Vypočítať ďaľší trojuholník