Výpočet trojuholníka SUS - výsledok




Prosím zadajte dve strany trojuholníka a uhol nimi zovretý
°


Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 580   b = 630   c = 1053,41881625282

Obsah trojuholníka: S = 156604,466583828
Obvod trojuholníka: o = 2263,41881625282
Semiperimeter (poloobvod): s = 1131,70990812641

Uhol ∠ A = α = 28,16107236263° = 28°9'39″ = 0,4911497347 rad
Uhol ∠ B = β = 30,83992763737° = 30°50'21″ = 0,53882469117 rad
Uhol ∠ C = γ = 121° = 2,11218483949 rad

Výška trojuholníka: va = 540,01553994423
Výška trojuholníka: vb = 497,15770344072
Výška trojuholníka: vc = 297,32663067013

Ťažnica: ta = 818,04333439446
Ťažnica: tb = 789,82327095824
Ťažnica: tc = 298,710979849

Polomer vpísanej kružnice: r = 138,37987303919
Polomer opísanej kružnice: R = 614,47664048193

Súradnice vrcholov: A[1053,41881625282; 0] B[0; 0] C[497,99330394527; 297,32663067013]
Ťažisko: T[517,1377067327; 99,10987689004]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[526,70990812641; -316,47987446158]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[501,70990812641; 138,37987303919]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 151,83992763737° = 151°50'21″ = 0,4911497347 rad
∠ B' = β' = 149,16107236263° = 149°9'39″ = 0,53882469117 rad
∠ C' = γ' = 59° = 2,11218483949 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Výpočet trojuholníka prebieha v dvoch fázach. Prvá fáza je taká, že zo vstupných parametrov sa snažíme vypočítať všetky tri strany trojuholníka. Prvá fáza prebieha rôzne pre rôzne zadané trojuholníky. Druhá fáza je vlastne výpočet ostatných charakteristík trojuholníka (z už vypočítaných strán, preto SSS), ako sú uhly, plocha, obvod, výšky, ťažnice, polomery kružníc atď. Niektoré vstupné vstupné údaje vedú aj v dvom až trom správnym riešeniam trojuholníka (napr. ak je zadaný obsah trojuholníka a dve strany - výsledkom je typicky ostrouhlý a aj tupouhlý trojuholník).

1. Dopočet tretej strany c trojuholníka pomocou kosínusovej vety

a=580 b=630 γ=121°  c2=a2+b22abcosγ c=a2+b22abcosγ c=5802+63022 580 630 cos121° c=1053,42

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený. Ďalej preto výpočet je rovnaký a dopočítajú sa ďaľšie jeho vlastnosti - vlastne výpočet trojuholníka zo známych troch strán SSS.
a=580 b=630 c=1053,42

2. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o=a+b+c=580+630+1053,42=2263,42

3. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s=2o=22263,42=1131,71

4. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S=s(sa)(sb)(sc) S=1131,71(1131,71580)(1131,71630)(1131,711053,42) S=24524958720,49=156604,47

5. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S=2ava  va=a2 S=5802 156604,47=540,02 vb=b2 S=6302 156604,47=497,16 vc=c2 S=1053,422 156604,47=297,33

6. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a2=b2+c22bccosα  α=arccos(2bcb2+c2a2)=arccos(2 630 1053,426302+1053,4225802)=28°939"  b2=a2+c22accosβ β=arccos(2aca2+c2b2)=arccos(2 580 1053,425802+1053,4226302)=30°5021" γ=180°αβ=180°28°939"30°5021"=121°

7. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S=rs r=sS=1131,71156604,47=138,38

8. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R=4 rsabc=4 138,379 1131,709580 630 1053,42=614,48

9. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

ta=22b2+2c2a2=22 6302+2 1053,4225802=818,043 tb=22c2+2a2b2=22 1053,422+2 58026302=789,823 tc=22a2+2b2c2=22 5802+2 63021053,422=298,71

Vypočítať ďaľší trojuholník