Výpočet trojuholníka SSU - výsledok

Trojuholník má dve riešenia, strana c=159.92220699261 a c=75.63768399033

#1 Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 136 b = 80 c = 159,92220699261

Obsah trojuholníka: S = 5437,35503774872
Obvod trojuholníka: o = 375,92220699261
Semiperimeter (poloobvod): s = 187,9611034963

Uhol ∠ A = α = 58,21216693829° = 58°12'42″ = 1,01659852938 rad
Uhol ∠ B = β = 30° = 0,52435987756 rad
Uhol ∠ C = γ = 91,78883306171° = 91°47'18″ = 1,60220085842 rad

Výška trojuholníka: v_a = 79,9611034963
Výška trojuholníka: v_b = 135,93437594372
Výška trojuholníka: v_c = 68

Ťažnica: t_a = 106.65998791028
Ťažnica: t_b = 142,9532909116
Ťažnica: t_c = 77,80989512051

Polomer vpísanej kružnice: r = 28,92880721324
Polomer opísanej kružnice: R = 80

Súradnice vrcholov: A[159,92220699261; 0] B[0; 0] C[117,77994549147; 68]
Ťažisko: T[92,56771749469; 22,66766666667]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[79,9611034963; -2,49765751818]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[107,9611034963; 28,92880721324]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 121,78883306171° = 121°47'18″ = 1,01659852938 rad
∠ B' = β' = 150° = 0,52435987756 rad
∠ C' = γ' = 88,21216693829° = 88°12'42″ = 1,60220085842 rad

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Výpočet trojuholníka prebieha v dvoch fázach. Prvá fáza je taká, že zo vstupných parametrov sa snažíme vypočítať všetky tri strany trojuholníka. Prvá fáza prebieha rôzne pre rôzne zadané trojuholníky. Druhá fáza je vlastne výpočet ostatných charakteristík trojuholníka (z už vypočítaných strán, preto SSS), ako sú uhly, plocha, obvod, výšky, ťažnice, polomery kružníc atď. Niektoré vstupné vstupné údaje vedú aj v dvom až trom správnym riešeniam trojuholníka (napr. ak je zadaný obsah trojuholníka a dve strany - výsledkom je typicky ostrouhlý a aj tupouhlý trojuholník).

1. Kosínusová veta

a = 136 b = 80 β = 30 ° b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β 8 0^{2} = 13 6^{2} + c^{2} - 2 \cdot 136 \cdot c \cdot cos 30 ° c^{2} - 235, 559 c + 12096 = 0 p = 1; q = - 235, 559; r = 12096 D = q^{2} - 4 p r = 235, 55 9^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12096 = 7104 D > 0 c_{1, 2} = \frac{- q \pm D}{2 p} = \frac{2 3 5 , 5 6 \pm 7 1 0 4}{2} c_{1, 2} = 117, 779455 \pm 42, 142615 c_{1} = 159, 922069926 c_{2} = 75, 636839903 c > 0 c = 159, 92

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený. Ďalej preto výpočet je rovnaký a dopočítajú sa ďaľšie jeho vlastnosti - vlastne výpočet trojuholníka zo známych troch strán SSS.

a = 136 b = 80 c = 159, 92

2. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 136 + 80 + 159, 92 = 375, 92

3. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{3 7 5 , 9 2}{2} = 187, 96

4. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 187, 96 (187, 96 - 136) (187, 96 - 80) (187, 96 - 159, 92) S = 29564779, 13 = 5437, 35

5. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 5 4 3 7 , 3 5}{1 3 6} = 79, 96 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 5 4 3 7 , 3 5}{8 0} = 135, 93 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 5 4 3 7 , 3 5}{1 5 9 , 9 2} = 68

6. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{8 0 ^{2} + 1 5 9 , 9 2 ^{2} - 1 3 6 ^{2}}{2 \cdot 8 0 \cdot 1 5 9 , 9 2}) = 58 ° 1 2^{'} 42 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 3 6 ^{2} + 1 5 9 , 9 2 ^{2} - 8 0 ^{2}}{2 \cdot 1 3 6 \cdot 1 5 9 , 9 2}) = 30 ° γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 58 ° 1 2^{'} 42 " - 30 ° = 91 ° 4 7^{'} 18 "

7. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{5 4 3 7 , 3 5}{1 8 7 , 9 6} = 28, 93

8. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 3 6 \cdot 8 0 \cdot 1 5 9 , 9 2}{4 \cdot 2 8 , 9 2 8 \cdot 1 8 7 , 9 6 1} = 80

9. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 8 0 ^{2} + 2 \cdot 1 5 9 , 9 2 ^{2} - 1 3 6 ^{2}}{2} = 106, 6 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 5 9 , 9 2 ^{2} + 2 \cdot 1 3 6 ^{2} - 8 0 ^{2}}{2} = 142, 953 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 3 6 ^{2} + 2 \cdot 8 0 ^{2} - 1 5 9 , 9 2 ^{2}}{2} = 77, 809

#2 Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 136 b = 80 c = 75,63768399033

Obsah trojuholníka: S = 2571,65325567113
Obvod trojuholníka: o = 291,63768399033
Semiperimeter (poloobvod): s = 145,81884199516

Uhol ∠ A = α = 121,78883306171° = 121°47'18″ = 2,12656073598 rad
Uhol ∠ B = β = 30° = 0,52435987756 rad
Uhol ∠ C = γ = 28,21216693829° = 28°12'42″ = 0,49223865182 rad

Výška trojuholníka: v_a = 37,81884199516
Výška trojuholníka: v_b = 64,29113139178
Výška trojuholníka: v_c = 68

Ťažnica: t_a = 37,90107358144
Ťažnica: t_b = 102,51108080901
Ťažnica: t_c = 104,96655520271

Polomer vpísanej kružnice: r = 17,63659924731
Polomer opísanej kružnice: R = 80

Súradnice vrcholov: A[75,63768399033; 0] B[0; 0] C[117,77994549147; 68]
Ťažisko: T[64,47220982727; 22,66766666667]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[37,81884199516; 70,49765751818]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[65,81884199516; 17,63659924731]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 58,21216693829° = 58°12'42″ = 2,12656073598 rad
∠ B' = β' = 150° = 0,52435987756 rad
∠ C' = γ' = 151,78883306171° = 151°47'18″ = 0,49223865182 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník