Výpočet trojuholníka SSS - výsledok

Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 1,86 b = 2,78 c = 3,71

Obsah trojuholníka: S = 2,50439019468
Obvod trojuholníka: o = 8,35
Semiperimeter (poloobvod): s = 4,175

Uhol ∠ A = α = 29,0488121141° = 29°2'53″ = 0,50769853554 rad
Uhol ∠ B = β = 46,52875750737° = 46°31'39″ = 0,8122059378 rad
Uhol ∠ C = γ = 104,42443037853° = 104°25'27″ = 1,82325479202 rad

Výška trojuholníka: v_a = 2,69223676848
Výška trojuholníka: v_b = 1,80113683071
Výška trojuholníka: v_c = 1,35498123703

Ťažnica: t_a = 3,14334614679
Ťažnica: t_b = 2,58545212323
Ťažnica: t_c = 1,46773019457

Polomer vpísanej kružnice: r = 0.65997369933
Polomer opísanej kružnice: R = 1,91553773198

Súradnice vrcholov: A[3,71; 0] B[0; 0] C[1,2879690027; 1,35498123703]
Ťažisko: T[1,6633230009; 0,45499374568]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[1,855; -0,47771218683]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[1,395; 0.65997369933]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 150,9521878859° = 150°57'7″ = 0,50769853554 rad
∠ B' = β' = 133,47224249263° = 133°28'21″ = 0,8122059378 rad
∠ C' = γ' = 75,57656962147° = 75°34'33″ = 1,82325479202 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 1, 86 b = 2, 78 c = 3, 71

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 1, 86 + 2, 78 + 3, 71 = 8, 35

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{8 , 3 5}{2} = 4, 18

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 4, 18 (4, 18 - 1, 86) (4, 18 - 2, 78) (4, 18 - 3, 71) S = 6, 27 = 2, 5

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 2 , 5}{1 , 8 6} = 2, 69 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 2 , 5}{2 , 7 8} = 1, 8 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 2 , 5}{3 , 7 1} = 1, 35

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{2 , 7 8 ^{2} + 3 , 7 1 ^{2} - 1 , 8 6 ^{2}}{2 \cdot 2 , 7 8 \cdot 3 , 7 1}) = 29 ° 2^{'} 53 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 , 8 6 ^{2} + 3 , 7 1 ^{2} - 2 , 7 8 ^{2}}{2 \cdot 1 , 8 6 \cdot 3 , 7 1}) = 46 ° 3 1^{'} 39 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 29 ° 2^{'} 53 " - 46 ° 3 1^{'} 39 " = 104 ° 2 5^{'} 27 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{2 , 5}{4 , 1 8} = 0, 6

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 , 8 6 \cdot 2 , 7 8 \cdot 3 , 7 1}{4 \cdot 0 , 6 \cdot 4 , 1 7 5} = 1, 92

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 , 7 8 ^{2} + 2 \cdot 3 , 7 1 ^{2} - 1 , 8 6 ^{2}}{2} = 3, 143 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 3 , 7 1 ^{2} + 2 \cdot 1 , 8 6 ^{2} - 2 , 7 8 ^{2}}{2} = 2, 585 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 , 8 6 ^{2} + 2 \cdot 2 , 7 8 ^{2} - 3 , 7 1 ^{2}}{2} = 1, 467

Vypočítať ďaľší trojuholník