Výpočet trojuholníka SSS - výsledok
Ostrouhlý rovnoramenný trojuholník.
Strany: a = 13 b = 13 c = 10Obsah trojuholníka: S = 60
Obvod trojuholníka: o = 36
Semiperimeter (poloobvod): s = 18
Uhol ∠ A = α = 67,3880135052° = 67°22'49″ = 1,17660052071 rad
Uhol ∠ B = β = 67,3880135052° = 67°22'49″ = 1,17660052071 rad
Uhol ∠ C = γ = 45,24397298961° = 45°14'23″ = 0,79895822394 rad
Výška trojuholníka: va = 9,23107692308
Výška trojuholníka: vb = 9,23107692308
Výška trojuholníka: vc = 12
Ťažnica: ta = 9,60546863561
Ťažnica: tb = 9,60546863561
Ťažnica: tc = 12
Polomer vpísanej kružnice: r = 3,33333333333
Polomer opísanej kružnice: R = 7,04216666667
Súradnice vrcholov: A[10; 0] B[0; 0] C[5; 12]
Ťažisko: T[5; 4]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[5; 4,95883333333]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[5; 3,33333333333]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 112,6219864948° = 112°37'11″ = 1,17660052071 rad
∠ B' = β' = 112,6219864948° = 112°37'11″ = 1,17660052071 rad
∠ C' = γ' = 134,76602701039° = 134°45'37″ = 0,79895822394 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=13 b=13 c=10
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=13+13+10=36
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=236=18
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=18(18−13)(18−13)(18−10) S=3600=60
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=132⋅ 60=9,23 vb=b2 S=132⋅ 60=9,23 vc=c2 S=102⋅ 60=12
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 13⋅ 10132+102−132)=67°22′49" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 13⋅ 10132+102−132)=67°22′49" γ=180°−α−β=180°−67°22′49"−67°22′49"=45°14′23"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=1860=3,33
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 3,333⋅ 1813⋅ 13⋅ 10=7,04
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 132+2⋅ 102−132=9,605 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 102+2⋅ 132−132=9,605 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 132+2⋅ 132−102=12
Vypočítať ďaľší trojuholník