Výpočet trojuholníka SSS - výsledok

Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 17,32 b = 10 c = 20

Obsah trojuholníka: S = 86.65999998882
Obvod trojuholníka: o = 47,32
Semiperimeter (poloobvod): s = 23,66

Uhol ∠ A = α = 59,99770889407° = 59°59'50″ = 1,04771467436 rad
Uhol ∠ B = β = 309,9999999573° = 30° = 0,52435987749 rad
Uhol ∠ C = γ = 90,0032911102° = 90°10″ = 1,57108471351 rad

Výška trojuholníka: v_a = 10.9999999871
Výška trojuholníka: v_b = 17,32199999776
Výška trojuholníka: v_c = 8,66599999888

Ťažnica: t_a = 13,22989228586
Ťažnica: t_b = 18,02875123076
Ťažnica: t_c = 10.9995599903

Polomer vpísanej kružnice: r = 3,66601859632
Polomer opísanej kružnice: R = 100,0000000129

Súradnice vrcholov: A[20; 0] B[0; 0] C[154,99956; 8,66599999888]
Ťažisko: T[11,667652; 2,88766666629]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[10; -0,00105080831]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[13,66; 3,66601859632]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 120,00329110593° = 120°10″ = 1,04771467436 rad
∠ B' = β' = 1500,0000000427° = 150° = 0,52435987749 rad
∠ C' = γ' = 89,9977088898° = 89°59'50″ = 1,57108471351 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 17, 32 b = 10 c = 20

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 17, 32 + 10 + 20 = 47, 32

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{4 7 , 3 2}{2} = 23, 66

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 23, 66 (23, 66 - 17, 32) (23, 66 - 10) (23, 66 - 20) S = 7499, 56 = 86, 6

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 8 6 , 6}{1 7 , 3 2} = 10 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 8 6 , 6}{1 0} = 17, 32 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 8 6 , 6}{2 0} = 8, 66

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 0 ^{2} + 2 0 ^{2} - 1 7 , 3 2 ^{2}}{2 \cdot 1 0 \cdot 2 0}) = 59 ° 5 9^{'} 50 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 7 , 3 2 ^{2} + 2 0 ^{2} - 1 0 ^{2}}{2 \cdot 1 7 , 3 2 \cdot 2 0}) = 30 ° γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 59 ° 5 9^{'} 50 " - 30 ° = 90 ° 10 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{8 6 , 6}{2 3 , 6 6} = 3, 66

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 7 , 3 2 \cdot 1 0 \cdot 2 0}{4 \cdot 3 , 6 6 \cdot 2 3 , 6 6} = 10

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 0 ^{2} + 2 \cdot 2 0 ^{2} - 1 7 , 3 2 ^{2}}{2} = 13, 229 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 0 ^{2} + 2 \cdot 1 7 , 3 2 ^{2} - 1 0 ^{2}}{2} = 18, 028 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 7 , 3 2 ^{2} + 2 \cdot 1 0 ^{2} - 2 0 ^{2}}{2} = 10

Vypočítať ďaľší trojuholník