Výpočet trojuholníka SSS - výsledok

Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 2 b = 1,5 c = 3

Obsah trojuholníka: S = 1,3333170563
Obvod trojuholníka: o = 6,5
Semiperimeter (poloobvod): s = 3,25

Uhol ∠ A = α = 36,33660575146° = 36°20'10″ = 0,63441838408 rad
Uhol ∠ B = β = 26,38443297494° = 26°23'4″ = 0,46604934251 rad
Uhol ∠ C = γ = 117,2879612736° = 117°16'47″ = 2,04769153877 rad

Výška trojuholníka: v_a = 1,3333170563
Výška trojuholníka: v_b = 1,77875607506
Výška trojuholníka: v_c = 0,88987803753

Ťažnica: t_a = 2,15105813168
Ťažnica: t_b = 2,43766985862
Ťažnica: t_c = 0,93554143467

Polomer vpísanej kružnice: r = 0,41102063271
Polomer opísanej kružnice: R = 1,68877060314

Súradnice vrcholov: A[3; 0] B[0; 0] C[1,79216666667; 0,88987803753]
Ťažisko: T[1,59772222222; 0,29662601251]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[1,5; -0,7743531931]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[1,75; 0,41102063271]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 143,66439424854° = 143°39'50″ = 0,63441838408 rad
∠ B' = β' = 153,61656702506° = 153°36'56″ = 0,46604934251 rad
∠ C' = γ' = 62,7220387264° = 62°43'13″ = 2,04769153877 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 2 b = 1, 5 c = 3

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 2 + 1, 5 + 3 = 6, 5

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{6 , 5}{2} = 3, 25

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 3, 25 (3, 25 - 2) (3, 25 - 1, 5) (3, 25 - 3) S = 1, 78 = 1, 33

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 , 3 3}{2} = 1, 33 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 , 3 3}{1 , 5} = 1, 78 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 , 3 3}{3} = 0, 89

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 , 5 ^{2} + 3 ^{2} - 2 ^{2}}{2 \cdot 1 , 5 \cdot 3}) = 36 ° 2 0^{'} 10 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{2 ^{2} + 3 ^{2} - 1 , 5 ^{2}}{2 \cdot 2 \cdot 3}) = 26 ° 2 3^{'} 4 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 36 ° 2 0^{'} 10 " - 26 ° 2 3^{'} 4 " = 117 ° 1 6^{'} 47 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 , 3 3}{3 , 2 5} = 0, 41

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{2 \cdot 1 , 5 \cdot 3}{4 \cdot 0 , 4 1 \cdot 3 , 2 5} = 1, 69

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 , 5 ^{2} + 2 \cdot 3 ^{2} - 2 ^{2}}{2} = 2, 151 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 3 ^{2} + 2 \cdot 2 ^{2} - 1 , 5 ^{2}}{2} = 2, 437 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 ^{2} + 2 \cdot 1 , 5 ^{2} - 3 ^{2}}{2} = 0, 935

Vypočítať ďaľší trojuholník