Výpočet trojuholníka SSS - výsledok

Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 2 b = 6 c = 6,32

Obsah trojuholníka: S = 65,99998272
Obvod trojuholníka: o = 14,32
Semiperimeter (poloobvod): s = 7,16

Uhol ∠ A = α = 18,44986601822° = 18°26'55″ = 0,32219898628 rad
Uhol ∠ B = β = 71,68988498206° = 71°41'20″ = 1,25112064663 rad
Uhol ∠ C = γ = 89,86224899972° = 89°51'45″ = 1,56883963245 rad

Výška trojuholníka: v_a = 65,99998272
Výška trojuholníka: v_b = 21,99999424
Výška trojuholníka: v_c = 1,89987287089

Ťažnica: t_a = 6,0880394724
Ťažnica: t_b = 3,60215552196
Ťažnica: t_c = 3,1654553681

Polomer vpísanej kružnice: r = 0,83879864134
Polomer opísanej kružnice: R = 3,16600091008

Súradnice vrcholov: A[6,32; 0] B[0; 0] C[0,62883544304; 1,89987287089]
Ťažisko: T[2,31661181435; 0,63329095696]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[3,16; 0,00875840218]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[1,16; 0,83879864134]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 161,55113398178° = 161°33'5″ = 0,32219898628 rad
∠ B' = β' = 108,31111501794° = 108°18'40″ = 1,25112064663 rad
∠ C' = γ' = 90,13875100028° = 90°8'15″ = 1,56883963245 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 2 b = 6 c = 6, 32

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 2 + 6 + 6, 32 = 14, 32

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{1 4 , 3 2}{2} = 7, 16

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 7, 16 (7, 16 - 2) (7, 16 - 6) (7, 16 - 6, 32) S = 36 = 6

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 6}{2} = 6 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 6}{6} = 2 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 6}{6 , 3 2} = 1, 9

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{6 ^{2} + 6 , 3 2 ^{2} - 2 ^{2}}{2 \cdot 6 \cdot 6 , 3 2}) = 18 ° 2 6^{'} 55 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{2 ^{2} + 6 , 3 2 ^{2} - 6 ^{2}}{2 \cdot 2 \cdot 6 , 3 2}) = 71 ° 4 1^{'} 20 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 18 ° 2 6^{'} 55 " - 71 ° 4 1^{'} 20 " = 89 ° 5 1^{'} 45 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{6}{7 , 1 6} = 0, 84

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{2 \cdot 6 \cdot 6 , 3 2}{4 \cdot 0 , 8 3 8 \cdot 7 , 1 6} = 3, 16

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

Vypočítať ďaľší trojuholník