Výpočet trojuholníka SSS - výsledok

Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 2 b = 6,16 c = 6,47

Obsah trojuholníka: S = 6,16599636054
Obvod trojuholníka: o = 14,63
Semiperimeter (poloobvod): s = 7,315

Uhol ∠ A = α = 18,00660359906° = 18°22″ = 0,31442646133 rad
Uhol ∠ B = β = 72,19109186394° = 72°11'27″ = 1,26599692203 rad
Uhol ∠ C = γ = 89,803304537° = 89°48'11″ = 1,567735882 rad

Výška trojuholníka: v_a = 6,16599636054
Výška trojuholníka: v_b = 21,9999881836
Výška trojuholníka: v_c = 1,90441618564

Ťažnica: t_a = 6,23772469889
Ťažnica: t_b = 3,66766128784
Ťažnica: t_c = 3,24215389863

Polomer vpísanej kružnice: r = 0,84221002878
Polomer opísanej kružnice: R = 3,23550191132

Súradnice vrcholov: A[6,47; 0] B[0; 0] C[0,61216924266; 1,90441618564]
Ťažisko: T[2,36105641422; 0,63547206188]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[3,235; 0,01111203782]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[1,155; 0,84221002878]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 161,99439640094° = 161°59'38″ = 0,31442646133 rad
∠ B' = β' = 107,80990813606° = 107°48'33″ = 1,26599692203 rad
∠ C' = γ' = 90,197695463° = 90°11'49″ = 1,567735882 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 2 b = 6, 16 c = 6, 47

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 2 + 6, 16 + 6, 47 = 14, 63

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{1 4 , 6 3}{2} = 7, 32

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 6 , 1 6}{2} = 6, 16 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 6 , 1 6}{6 , 1 6} = 2 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 6 , 1 6}{6 , 4 7} = 1, 9

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{6 , 1 6 ^{2} + 6 , 4 7 ^{2} - 2 ^{2}}{2 \cdot 6 , 1 6 \cdot 6 , 4 7}) = 18 ° 22 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{2 ^{2} + 6 , 4 7 ^{2} - 6 , 1 6 ^{2}}{2 \cdot 2 \cdot 6 , 4 7}) = 72 ° 1 1^{'} 27 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 18 ° 22 " - 72 ° 1 1^{'} 27 " = 89 ° 4 8^{'} 11 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{2 \cdot 6 , 1 6 \cdot 6 , 4 7}{4 \cdot 0 , 8 4 2 \cdot 7 , 3 1 5} = 3, 24

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

Vypočítať ďaľší trojuholník