Výpočet trojuholníka SSS - výsledok

Prosím zadajte tri strany trojuholníka:


Ostrouhlý rovnoramenný trojuholník.

Strany: a = 25   b = 25   c = 14

Obsah trojuholníka: S = 168
Obvod trojuholníka: o = 64
Semiperimeter (poloobvod): s = 32

Uhol ∠ A = α = 73.74397952917° = 73°44'23″ = 1.28770022176 rad
Uhol ∠ B = β = 73.74397952917° = 73°44'23″ = 1.28770022176 rad
Uhol ∠ C = γ = 32.52204094166° = 32°31'13″ = 0.56875882184 rad

Výška trojuholníka: va = 13.44
Výška trojuholníka: vb = 13.44
Výška trojuholníka: vc = 24

Ťažnica: ta = 15.94552187191
Ťažnica: tb = 15.94552187191
Ťažnica: tc = 24

Polomer vpísanej kružnice: r = 5.25
Polomer opísanej kružnice: R = 13.02108333333

Súradnice vrcholov: A[14; 0] B[0; 0] C[7; 24]
Ťažisko: T[7; 8]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[7; 10.97991666667]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[7; 5.25]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 106.2660204708° = 106°15'37″ = 1.28770022176 rad
∠ B' = β' = 106.2660204708° = 106°15'37″ = 1.28770022176 rad
∠ C' = γ' = 147.4879590583° = 147°28'47″ = 0.56875882184 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník




Ako sme vypočítali tento trojuholník?

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o=a+b+c=25+25+14=64o = a+b+c = 25+25+14 = 64

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s=o2=642=32s = \dfrac{ o }{ 2 } = \dfrac{ 64 }{ 2 } = 32

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S=s(sa)(sb)(sc) S=32(3225)(3225)(3214) S=28224=168S = \sqrt{ s(s-a)(s-b)(s-c) } \ \\ S = \sqrt{ 32(32-25)(32-25)(32-14) } \ \\ S = \sqrt{ 28224 } = 168

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S=ava2  va=2 Sa=2 16825=13.44 vb=2 Sb=2 16825=13.44 vc=2 Sc=2 16814=24S = \dfrac{ a v _a }{ 2 } \ \\ \ \\ v _a = \dfrac{ 2 \ S }{ a } = \dfrac{ 2 \cdot \ 168 }{ 25 } = 13.44 \ \\ v _b = \dfrac{ 2 \ S }{ b } = \dfrac{ 2 \cdot \ 168 }{ 25 } = 13.44 \ \\ v _c = \dfrac{ 2 \ S }{ c } = \dfrac{ 2 \cdot \ 168 }{ 14 } = 24

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a2=b2+c22bccosα  α=arccos(b2+c2a22bc)=arccos(252+1422522 25 14)=734423"  b2=a2+c22accosβ β=arccos(a2+c2b22ac)=arccos(252+1422522 25 14)=734423" γ=180αβ=180734423"734423"=323113"a^2 = b^2+c^2 - 2bc \cos α \ \\ \ \\ α = \arccos(\dfrac{ b^2+c^2-a^2 }{ 2bc } ) = \arccos(\dfrac{ 25^2+14^2-25^2 }{ 2 \cdot \ 25 \cdot \ 14 } ) = 73^\circ 44'23" \ \\ \ \\ b^2 = a^2+c^2 - 2ac \cos β \ \\ β = \arccos(\dfrac{ a^2+c^2-b^2 }{ 2ac } ) = \arccos(\dfrac{ 25^2+14^2-25^2 }{ 2 \cdot \ 25 \cdot \ 14 } ) = 73^\circ 44'23" \ \\ γ = 180^\circ - α - β = 180^\circ - 73^\circ 44'23" - 73^\circ 44'23" = 32^\circ 31'13"

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S=rs r=Ss=16832=5.25S = rs \ \\ r = \dfrac{ S }{ s } = \dfrac{ 168 }{ 32 } = 5.25

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R=abc4 rs=25 25 144 5.25 32=13.02R = \dfrac{ a b c }{ 4 \ r s } = \dfrac{ 25 \cdot \ 25 \cdot \ 14 }{ 4 \cdot \ 5.25 \cdot \ 32 } = 13.02

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

ta=2b2+2c2a22=2 252+2 1422522=15.945 tb=2c2+2a2b22=2 142+2 2522522=15.945 tc=2a2+2b2c22=2 252+2 2521422=24t_a = \dfrac{ \sqrt{ 2b^2+2c^2 - a^2 } }{ 2 } = \dfrac{ \sqrt{ 2 \cdot \ 25^2+2 \cdot \ 14^2 - 25^2 } }{ 2 } = 15.945 \ \\ t_b = \dfrac{ \sqrt{ 2c^2+2a^2 - b^2 } }{ 2 } = \dfrac{ \sqrt{ 2 \cdot \ 14^2+2 \cdot \ 25^2 - 25^2 } }{ 2 } = 15.945 \ \\ t_c = \dfrac{ \sqrt{ 2a^2+2b^2 - c^2 } }{ 2 } = \dfrac{ \sqrt{ 2 \cdot \ 25^2+2 \cdot \ 25^2 - 14^2 } }{ 2 } = 24

Vypočítať ďaľší trojuholník