Výpočet trojuholníka SSS - výsledok

Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 3 b = 1,73 c = 3,46

Obsah trojuholníka: S = 2,59549945365
Obvod trojuholníka: o = 8,19
Semiperimeter (poloobvod): s = 4,095

Uhol ∠ A = α = 60,11876419929° = 60°7'4″ = 1,04992507913 rad
Uhol ∠ B = β = 309,9999303539° = 30° = 0,524359756 rad
Uhol ∠ C = γ = 89,88224276532° = 89°52'57″ = 1,56987443022 rad

Výška trojuholníka: v_a = 1,73299963577
Výška trojuholníka: v_b = 32,9999936838
Výška trojuholníka: v_c = 1.54999968419

Ťažnica: t_a = 2,28774112005
Ťažnica: t_b = 3,12105087726
Ťažnica: t_c = 1,73330753013

Polomer vpísanej kružnice: r = 0,63436982995
Polomer opísanej kružnice: R = 1,73300036424

Súradnice vrcholov: A[3,46; 0] B[0; 0] C[2,59880780347; 1.54999968419]
Ťažisko: T[2,01993593449; 0.54999989473]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[1,73; 0,00435500075]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[2,365; 0,63436982995]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 119,88223580071° = 119°52'56″ = 1,04992507913 rad
∠ B' = β' = 1500,0000696461° = 150° = 0,524359756 rad
∠ C' = γ' = 90,11875723468° = 90°7'3″ = 1,56987443022 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 3 b = 1, 73 c = 3, 46

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 3 + 1, 73 + 3, 46 = 8, 19

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{8 , 1 9}{2} = 4, 1

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 4, 1 (4, 1 - 3) (4, 1 - 1, 73) (4, 1 - 3, 46) S = 6, 73 = 2, 59

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 2 , 5 9}{3} = 1, 73 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 2 , 5 9}{1 , 7 3} = 3 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 2 , 5 9}{3 , 4 6} = 1, 5

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 , 7 3 ^{2} + 3 , 4 6 ^{2} - 3 ^{2}}{2 \cdot 1 , 7 3 \cdot 3 , 4 6}) = 60 ° 7^{'} 4 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{3 ^{2} + 3 , 4 6 ^{2} - 1 , 7 3 ^{2}}{2 \cdot 3 \cdot 3 , 4 6}) = 30 ° γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 60 ° 7^{'} 4 " - 30 ° = 89 ° 5 2^{'} 57 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{2 , 5 9}{4 , 1} = 0, 63

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{3 \cdot 1 , 7 3 \cdot 3 , 4 6}{4 \cdot 0 , 6 3 4 \cdot 4 , 0 9 5} = 1, 73

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 , 7 3 ^{2} + 2 \cdot 3 , 4 6 ^{2} - 3 ^{2}}{2} = 2, 287 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 3 , 4 6 ^{2} + 2 \cdot 3 ^{2} - 1 , 7 3 ^{2}}{2} = 3, 121 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 3 ^{2} + 2 \cdot 1 , 7 3 ^{2} - 3 , 4 6 ^{2}}{2} = 1, 733

Vypočítať ďaľší trojuholník