Výpočet trojuholníka SSS - výsledok

Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 3,1 b = 7,85 c = 8,44

Obsah trojuholníka: S = 12,16774999969
Obvod trojuholníka: o = 19,39
Semiperimeter (poloobvod): s = 9,695

Uhol ∠ A = α = 21,5499109765° = 21°32'57″ = 0,37661029163 rad
Uhol ∠ B = β = 68,45495952821° = 68°26'59″ = 1,19546708093 rad
Uhol ∠ C = γ = 90,00112949529° = 90°5″ = 1,5710818928 rad

Výška trojuholníka: v_a = 7,8549999998
Výška trojuholníka: v_b = 3.10999999992
Výška trojuholníka: v_c = 2,88332938381

Ťažnica: t_a = 8,00215967157
Ťažnica: t_b = 5,00216172385
Ťažnica: t_c = 4,22199348336

Polomer vpísanej kružnice: r = 1,25550283648
Polomer opísanej kružnice: R = 4,22200000011

Súradnice vrcholov: A[8,44; 0] B[0; 0] C[1,13986907583; 2,88332938381]
Ťažisko: T[3,19328969194; 0,9611097946]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[4,22; -09,5377E-5]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[1,845; 1,25550283648]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 158,4510890235° = 158°27'3″ = 0,37661029163 rad
∠ B' = β' = 111,55504047179° = 111°33'1″ = 1,19546708093 rad
∠ C' = γ' = 89,99987050471° = 89°59'55″ = 1,5710818928 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 3, 1 b = 7, 85 c = 8, 44

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 3, 1 + 7, 85 + 8, 44 = 19, 39

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{1 9 , 3 9}{2} = 9, 7

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 9, 7 (9, 7 - 3, 1) (9, 7 - 7, 85) (9, 7 - 8, 44) S = 148, 05 = 12, 17

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 2 , 1 7}{3 , 1} = 7, 85 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 2 , 1 7}{7 , 8 5} = 3, 1 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 2 , 1 7}{8 , 4 4} = 2, 88

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{7 , 8 5 ^{2} + 8 , 4 4 ^{2} - 3 , 1 ^{2}}{2 \cdot 7 , 8 5 \cdot 8 , 4 4}) = 21 ° 3 2^{'} 57 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{3 , 1 ^{2} + 8 , 4 4 ^{2} - 7 , 8 5 ^{2}}{2 \cdot 3 , 1 \cdot 8 , 4 4}) = 68 ° 2 6^{'} 59 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 21 ° 3 2^{'} 57 " - 68 ° 2 6^{'} 59 " = 90 ° 5 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 2 , 1 7}{9 , 7} = 1, 26

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{3 , 1 \cdot 7 , 8 5 \cdot 8 , 4 4}{4 \cdot 1 , 2 5 5 \cdot 9 , 6 9 5} = 4, 22

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 7 , 8 5 ^{2} + 2 \cdot 8 , 4 4 ^{2} - 3 , 1 ^{2}}{2} = 8, 002 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 8 , 4 4 ^{2} + 2 \cdot 3 , 1 ^{2} - 7 , 8 5 ^{2}}{2} = 5, 002 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 3 , 1 ^{2} + 2 \cdot 7 , 8 5 ^{2} - 8 , 4 4 ^{2}}{2} = 4, 22

Vypočítať ďaľší trojuholník