Výpočet trojuholníka SSS - výsledok

Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 4 b = 5 c = 7

Obsah trojuholníka: S = 9,79879589711
Obvod trojuholníka: o = 16
Semiperimeter (poloobvod): s = 8

Uhol ∠ A = α = 34,048773237° = 34°2'52″ = 0,59442450327 rad
Uhol ∠ B = β = 44,41553085972° = 44°24'55″ = 0,77551933733 rad
Uhol ∠ C = γ = 101,53769590328° = 101°32'13″ = 1,77221542476 rad

Výška trojuholníka: v_a = 4,89989794856
Výška trojuholníka: v_b = 3,91991835885
Výška trojuholníka: v_c = 2,79994168489

Ťažnica: t_a = 5,74545626465
Ťažnica: t_b = 5,1233475383
Ťažnica: t_c = 2,87222813233

Polomer vpísanej kružnice: r = 1,22547448714
Polomer opísanej kružnice: R = 3,57221725416

Súradnice vrcholov: A[7; 0] B[0; 0] C[2,85771428571; 2,79994168489]
Ťažisko: T[3,28657142857; 0,93331389496]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[3,5; -0,71444345083]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[3; 1,22547448714]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 145,952226763° = 145°57'8″ = 0,59442450327 rad
∠ B' = β' = 135,58546914028° = 135°35'5″ = 0,77551933733 rad
∠ C' = γ' = 78,46330409672° = 78°27'47″ = 1,77221542476 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 4 b = 5 c = 7

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 4 + 5 + 7 = 16

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{1 6}{2} = 8

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 8 (8 - 4) (8 - 5) (8 - 7) S = 96 = 9, 8

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 9 , 8}{4} = 4, 9 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 9 , 8}{5} = 3, 92 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 9 , 8}{7} = 2, 8

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{5 ^{2} + 7 ^{2} - 4 ^{2}}{2 \cdot 5 \cdot 7}) = 34 ° 2^{'} 52 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{4 ^{2} + 7 ^{2} - 5 ^{2}}{2 \cdot 4 \cdot 7}) = 44 ° 2 4^{'} 55 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 34 ° 2^{'} 52 " - 44 ° 2 4^{'} 55 " = 101 ° 3 2^{'} 13 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{9 , 8}{8} = 1, 22

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{4 \cdot 5 \cdot 7}{4 \cdot 1 , 2 2 5 \cdot 8} = 3, 57

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 5 ^{2} + 2 \cdot 7 ^{2} - 4 ^{2}}{2} = 5, 745 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 7 ^{2} + 2 \cdot 4 ^{2} - 5 ^{2}}{2} = 5, 123 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 4 ^{2} + 2 \cdot 5 ^{2} - 7 ^{2}}{2} = 2, 872

Vypočítať ďaľší trojuholník