Výpočet trojuholníka SSS - výsledok

Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 4 b = 9 c = 6

Obsah trojuholníka: S = 9,56222957495
Obvod trojuholníka: o = 19
Semiperimeter (poloobvod): s = 9,5

Uhol ∠ A = α = 20,74219164807° = 20°44'31″ = 0,36220147358 rad
Uhol ∠ B = β = 127,1698899656° = 127°10'8″ = 2,22195160051 rad
Uhol ∠ C = γ = 32,08991838633° = 32°5'21″ = 0,56600619127 rad

Výška trojuholníka: v_a = 4,78111478747
Výška trojuholníka: v_b = 2,1254954611
Výška trojuholníka: v_c = 3,18774319165

Ťažnica: t_a = 7,38224115301
Ťažnica: t_b = 2,39879157617
Ťažnica: t_c = 6,2854902545

Polomer vpísanej kružnice: r = 1,00765574473
Polomer opísanej kružnice: R = 5,64771794447

Súradnice vrcholov: A[6; 0] B[0; 0] C[-2,41766666667; 3,18774319165]
Ťažisko: T[1,19444444444; 1,06224773055]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[3; 4,78444159184]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[0,5; 1,00765574473]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 159,25880835193° = 159°15'29″ = 0,36220147358 rad
∠ B' = β' = 52,8311100344° = 52°49'52″ = 2,22195160051 rad
∠ C' = γ' = 147,91108161367° = 147°54'39″ = 0,56600619127 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 4 b = 9 c = 6

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 4 + 9 + 6 = 19

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{1 9}{2} = 9, 5

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 9, 5 (9, 5 - 4) (9, 5 - 9) (9, 5 - 6) S = 91, 44 = 9, 56

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 9 , 5 6}{4} = 4, 78 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 9 , 5 6}{9} = 2, 12 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 9 , 5 6}{6} = 3, 19

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{9 ^{2} + 6 ^{2} - 4 ^{2}}{2 \cdot 9 \cdot 6}) = 20 ° 4 4^{'} 31 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{4 ^{2} + 6 ^{2} - 9 ^{2}}{2 \cdot 4 \cdot 6}) = 127 ° 1 0^{'} 8 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 20 ° 4 4^{'} 31 " - 127 ° 1 0^{'} 8 " = 32 ° 5^{'} 21 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{9 , 5 6}{9 , 5} = 1, 01

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{4 \cdot 9 \cdot 6}{4 \cdot 1 , 0 0 7 \cdot 9 , 5} = 5, 65

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 9 ^{2} + 2 \cdot 6 ^{2} - 4 ^{2}}{2} = 7, 382 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 6 ^{2} + 2 \cdot 4 ^{2} - 9 ^{2}}{2} = 2, 398 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 4 ^{2} + 2 \cdot 9 ^{2} - 6 ^{2}}{2} = 6, 285

Vypočítať ďaľší trojuholník