Výpočet trojuholníka SSS - výsledok

Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 4,06 b = 2,5 c = 2

Obsah trojuholníka: S = 1,95548374459
Obvod trojuholníka: o = 8,56
Semiperimeter (poloobvod): s = 4,28

Uhol ∠ A = α = 128,56219167948° = 128°33'43″ = 2,24438287407 rad
Uhol ∠ B = β = 28,78325690761° = 28°46'57″ = 0,50223505976 rad
Uhol ∠ C = γ = 22,65655141291° = 22°39'20″ = 0,39554133153 rad

Výška trojuholníka: v_a = 0,96329741113
Výška trojuholníka: v_b = 1,56438699567
Výška trojuholníka: v_c = 1,95548374459

Ťažnica: t_a = 1,0022047903
Ťažnica: t_b = 2,94660651724
Ťažnica: t_c = 3,22197515432

Polomer vpísanej kružnice: r = 0,4576737721
Polomer opísanej kružnice: R = 2,59661237905

Súradnice vrcholov: A[2; 0] B[0; 0] C[3,55884; 1,95548374459]
Ťažisko: T[1,85328; 0,6521612482]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[1; 2,39658002287]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[1,78; 0,4576737721]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 51,43880832052° = 51°26'17″ = 2,24438287407 rad
∠ B' = β' = 151,21774309239° = 151°13'3″ = 0,50223505976 rad
∠ C' = γ' = 157,34444858709° = 157°20'40″ = 0,39554133153 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 4, 06 b = 2, 5 c = 2

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 4, 06 + 2, 5 + 2 = 8, 56

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{8 , 5 6}{2} = 4, 28

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 4, 28 (4, 28 - 4, 06) (4, 28 - 2, 5) (4, 28 - 2) S = 3, 82 = 1, 95

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 , 9 5}{4 , 0 6} = 0, 96 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 , 9 5}{2 , 5} = 1, 56 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 , 9 5}{2} = 1, 95

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{2 , 5 ^{2} + 2 ^{2} - 4 , 0 6 ^{2}}{2 \cdot 2 , 5 \cdot 2}) = 128 ° 3 3^{'} 43 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{4 , 0 6 ^{2} + 2 ^{2} - 2 , 5 ^{2}}{2 \cdot 4 , 0 6 \cdot 2}) = 28 ° 4 6^{'} 57 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 128 ° 3 3^{'} 43 " - 28 ° 4 6^{'} 57 " = 22 ° 3 9^{'} 20 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 , 9 5}{4 , 2 8} = 0, 46

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{4 , 0 6 \cdot 2 , 5 \cdot 2}{4 \cdot 0 , 4 5 7 \cdot 4 , 2 8} = 2, 6

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 , 5 ^{2} + 2 \cdot 2 ^{2} - 4 , 0 6 ^{2}}{2} = 1, 002 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 ^{2} + 2 \cdot 4 , 0 6 ^{2} - 2 , 5 ^{2}}{2} = 2, 946 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 4 , 0 6 ^{2} + 2 \cdot 2 , 5 ^{2} - 2 ^{2}}{2} = 3, 22

Vypočítať ďaľší trojuholník