Výpočet trojuholníka SSS - výsledok

Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 4,24 b = 2,45 c = 6

Obsah trojuholníka: S = 4,23664798181
Obvod trojuholníka: o = 12,69
Semiperimeter (poloobvod): s = 6,345

Uhol ∠ A = α = 35,19771600165° = 35°11'50″ = 0,61443063296 rad
Uhol ∠ B = β = 19,45444034086° = 19°27'16″ = 0,34395433935 rad
Uhol ∠ C = γ = 125,34884365749° = 125°20'54″ = 2,18877429305 rad

Výška trojuholníka: v_a = 1,99883395369
Výška trojuholníka: v_b = 3,45883508719
Výška trojuholníka: v_c = 1,41221599394

Ťažnica: t_a = 4,06328622915
Ťažnica: t_b = 5,04985814839
Ťažnica: t_c = 1,72991761044

Polomer vpísanej kružnice: r = 0,66876879146
Polomer opísanej kružnice: R = 3,67880536363

Súradnice vrcholov: A[6; 0] B[0; 0] C[3,9987925; 1,41221599394]
Ťažisko: T[3,33326416667; 0,47107199798]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[3; -2,12879282298]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[3,895; 0,66876879146]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 144,80328399835° = 144°48'10″ = 0,61443063296 rad
∠ B' = β' = 160,54655965914° = 160°32'44″ = 0,34395433935 rad
∠ C' = γ' = 54,65215634251° = 54°39'6″ = 2,18877429305 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 4, 24 b = 2, 45 c = 6

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 4, 24 + 2, 45 + 6 = 12, 69

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{1 2 , 6 9}{2} = 6, 35

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 4 , 2 4}{4 , 2 4} = 2 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 4 , 2 4}{2 , 4 5} = 3, 46 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 4 , 2 4}{6} = 1, 41

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{2 , 4 5 ^{2} + 6 ^{2} - 4 , 2 4 ^{2}}{2 \cdot 2 , 4 5 \cdot 6}) = 35 ° 1 1^{'} 50 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{4 , 2 4 ^{2} + 6 ^{2} - 2 , 4 5 ^{2}}{2 \cdot 4 , 2 4 \cdot 6}) = 19 ° 2 7^{'} 16 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 35 ° 1 1^{'} 50 " - 19 ° 2 7^{'} 16 " = 125 ° 2 0^{'} 54 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{4 , 2 4}{6 , 3 5} = 0, 67

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{4 , 2 4 \cdot 2 , 4 5 \cdot 6}{4 \cdot 0 , 6 6 8 \cdot 6 , 3 4 5} = 3, 68

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

Vypočítať ďaľší trojuholník