Výpočet trojuholníka SSS - výsledok
Tupouhlý rôznostranný trojuholník.
Strany: a = 4,33 b = 2,5 c = 5Obsah trojuholníka: S = 5,4122499993
Obvod trojuholníka: o = 11,83
Semiperimeter (poloobvod): s = 5,915
Uhol ∠ A = α = 59,99770889407° = 59°59'50″ = 1,04771467436 rad
Uhol ∠ B = β = 309,9999999573° = 30° = 0,52435987749 rad
Uhol ∠ C = γ = 90,0032911102° = 90°10″ = 1,57108471351 rad
Výška trojuholníka: va = 2.54999999968
Výška trojuholníka: vb = 4,33299999944
Výška trojuholníka: vc = 2,16549999972
Ťažnica: ta = 3,30772307147
Ťažnica: tb = 4,50768780769
Ťažnica: tc = 2.54998899976
Polomer vpísanej kružnice: r = 0,91550464908
Polomer opísanej kružnice: R = 2.55000000032
Súradnice vrcholov: A[5; 0] B[0; 0] C[3,754989; 2,16549999972]
Ťažisko: T[2,917663; 0,72216666657]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[2,5; -00,0001270208]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[3,415; 0,91550464908]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 120,00329110593° = 120°10″ = 1,04771467436 rad
∠ B' = β' = 1500,0000000427° = 150° = 0,52435987749 rad
∠ C' = γ' = 89,9977088898° = 89°59'50″ = 1,57108471351 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=4,33 b=2,5 c=5
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=4,33+2,5+5=11,83
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=211,83=5,92
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=5,92(5,92−4,33)(5,92−2,5)(5,92−5) S=29,3=5,41
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=4,332⋅ 5,41=2,5 vb=b2 S=2,52⋅ 5,41=4,33 vc=c2 S=52⋅ 5,41=2,16
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 2,5⋅ 52,52+52−4,332)=59°59′50" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 4,33⋅ 54,332+52−2,52)=30° γ=180°−α−β=180°−59°59′50"−30°=90°10"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=5,925,41=0,92
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 0,915⋅ 5,9154,33⋅ 2,5⋅ 5=2,5
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 2,52+2⋅ 52−4,332=3,307 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 52+2⋅ 4,332−2,52=4,507 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 4,332+2⋅ 2,52−52=2,5
Vypočítať ďaľší trojuholník