Výpočet trojuholníka SSS - výsledok

Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 5,55 b = 8,32 c = 10

Obsah trojuholníka: S = 23,08879991608
Obvod trojuholníka: o = 23,87
Semiperimeter (poloobvod): s = 11,935

Uhol ∠ A = α = 33,7110713392° = 33°42'39″ = 0,58883629419 rad
Uhol ∠ B = β = 56,30547347296° = 56°18'17″ = 0,98327030055 rad
Uhol ∠ C = γ = 89,98545518784° = 89°59'4″ = 1,57105267062 rad

Výška trojuholníka: v_a = 8,32199996976
Výška trojuholníka: v_b = 5,55499997983
Výška trojuholníka: v_c = 4,61875998322

Ťažnica: t_a = 8,77698674448
Ťažnica: t_b = 6,9355102739
Ťažnica: t_c = 5,0011244845

Polomer vpísanej kružnice: r = 1,93444783545
Polomer opísanej kružnice: R = 55,0000001817

Súradnice vrcholov: A[10; 0] B[0; 0] C[3,0799005; 4,61875998322]
Ťažisko: T[4,36596683333; 1,53991999441]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[5; 0,0011348103]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[3,615; 1,93444783545]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 146,2899286608° = 146°17'21″ = 0,58883629419 rad
∠ B' = β' = 123,69552652704° = 123°41'43″ = 0,98327030055 rad
∠ C' = γ' = 90,01554481216° = 90°56″ = 1,57105267062 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 5, 55 b = 8, 32 c = 10

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 5, 55 + 8, 32 + 10 = 23, 87

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{2 3 , 8 7}{2} = 11, 94

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 11, 94 (11, 94 - 5, 55) (11, 94 - 8, 32) (11, 94 - 10) S = 533, 06 = 23, 09

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 2 3 , 0 9}{5 , 5 5} = 8, 32 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 2 3 , 0 9}{8 , 3 2} = 5, 55 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 2 3 , 0 9}{1 0} = 4, 62

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{8 , 3 2 ^{2} + 1 0 ^{2} - 5 , 5 5 ^{2}}{2 \cdot 8 , 3 2 \cdot 1 0}) = 33 ° 4 2^{'} 39 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{5 , 5 5 ^{2} + 1 0 ^{2} - 8 , 3 2 ^{2}}{2 \cdot 5 , 5 5 \cdot 1 0}) = 56 ° 1 8^{'} 17 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 33 ° 4 2^{'} 39 " - 56 ° 1 8^{'} 17 " = 89 ° 5 9^{'} 4 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{2 3 , 0 9}{1 1 , 9 4} = 1, 93

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{5 , 5 5 \cdot 8 , 3 2 \cdot 1 0}{4 \cdot 1 , 9 3 4 \cdot 1 1 , 9 3 5} = 5

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 8 , 3 2 ^{2} + 2 \cdot 1 0 ^{2} - 5 , 5 5 ^{2}}{2} = 8, 77 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 0 ^{2} + 2 \cdot 5 , 5 5 ^{2} - 8 , 3 2 ^{2}}{2} = 6, 935 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 5 , 5 5 ^{2} + 2 \cdot 8 , 3 2 ^{2} - 1 0 ^{2}}{2} = 5, 001

Vypočítať ďaľší trojuholník