Výpočet trojuholníka SSS - výsledok
Tupouhlý rovnoramenný trojuholník.
Strany: a = 6 b = 6 c = 8,49Obsah trojuholníka: S = 187,9999888611
Obvod trojuholníka: o = 20,49
Semiperimeter (poloobvod): s = 10,245
Uhol ∠ A = α = 44,96881292161° = 44°58'5″ = 0,78548419133 rad
Uhol ∠ B = β = 44,96881292161° = 44°58'5″ = 0,78548419133 rad
Uhol ∠ C = γ = 90,06437415679° = 90°3'49″ = 1,5721908827 rad
Výška trojuholníka: va = 65,999996287
Výška trojuholníka: vb = 65,999996287
Výška trojuholníka: vc = 4,24402800615
Ťažnica: ta = 6,71111884193
Ťažnica: tb = 6,71111884193
Ťažnica: tc = 4,24402800615
Polomer vpísanej kružnice: r = 1,75769535248
Polomer opísanej kružnice: R = 4,24550026269
Súradnice vrcholov: A[8,49; 0] B[0; 0] C[4,245; 4,24402800615]
Ťažisko: T[4,245; 1,41334266872]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[4,245; -0,00547225654]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[4,245; 1,75769535248]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 135,03218707839° = 135°1'55″ = 0,78548419133 rad
∠ B' = β' = 135,03218707839° = 135°1'55″ = 0,78548419133 rad
∠ C' = γ' = 89,93662584321° = 89°56'11″ = 1,5721908827 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=6 b=6 c=8,49
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=6+6+8,49=20,49
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=220,49=10,25
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=10,25(10,25−6)(10,25−6)(10,25−8,49) S=324=18
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=62⋅ 18=6 vb=b2 S=62⋅ 18=6 vc=c2 S=8,492⋅ 18=4,24
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 6⋅ 8,4962+8,492−62)=44°58′5" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 6⋅ 8,4962+8,492−62)=44°58′5" γ=180°−α−β=180°−44°58′5"−44°58′5"=90°3′49"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=10,2518=1,76
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 1,757⋅ 10,2456⋅ 6⋅ 8,49=4,25
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 62+2⋅ 8,492−62=6,711 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 8,492+2⋅ 62−62=6,711 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 62+2⋅ 62−8,492=4,24
Vypočítať ďaľší trojuholník