Výpočet trojuholníka SSS - výsledok




Prosím zadajte tri strany trojuholníka:


Ostrouhlý rovnoramenný trojuholník.

Strany: a = 6,5   b = 6,5   c = 8,31

Obsah trojuholníka: S = 20,7699171795
Obvod trojuholníka: o = 21,31
Semiperimeter (poloobvod): s = 10,655

Uhol ∠ A = α = 50,2665516214° = 50°15'56″ = 0,87772987581 rad
Uhol ∠ B = β = 50,2665516214° = 50°15'56″ = 0,87772987581 rad
Uhol ∠ C = γ = 79,46989675719° = 79°28'8″ = 1,38769951373 rad

Výška trojuholníka: va = 6,39105143985
Výška trojuholníka: vb = 6,39105143985
Výška trojuholníka: vc = 4,99985973032

Ťažnica: ta = 6,71549497392
Ťažnica: tb = 6,71549497392
Ťažnica: tc = 4,99985973032

Polomer vpísanej kružnice: r = 1,9499241839
Polomer opísanej kružnice: R = 4,22661856114

Súradnice vrcholov: A[8,31; 0] B[0; 0] C[4,155; 4,99985973032]
Ťažisko: T[4,155; 1,66661991011]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[4,155; 0,77224116919]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[4,155; 1,9499241839]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 129,7344483786° = 129°44'4″ = 0,87772987581 rad
∠ B' = β' = 129,7344483786° = 129°44'4″ = 0,87772987581 rad
∠ C' = γ' = 100,53110324281° = 100°31'52″ = 1,38769951373 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?


Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=6,5 b=6,5 c=8,31

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o=a+b+c=6,5+6,5+8,31=21,31

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s=2o=221,31=10,66

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S=s(sa)(sb)(sc) S=10,66(10,666,5)(10,666,5)(10,668,31) S=431,36=20,77

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S=2ava  va=a2 S=6,52 20,77=6,39 vb=b2 S=6,52 20,77=6,39 vc=c2 S=8,312 20,77=5

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a2=b2+c22bccosα  α=arccos(2bcb2+c2a2)=arccos(2 6,5 8,316,52+8,3126,52)=50°1556"  b2=a2+c22accosβ β=arccos(2aca2+c2b2)=arccos(2 6,5 8,316,52+8,3126,52)=50°1556" γ=180°αβ=180°50°1556"50°1556"=79°288"

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S=rs r=sS=10,6620,77=1,95

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R=4 rsabc=4 1,949 10,6556,5 6,5 8,31=4,23

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

ta=22b2+2c2a2=22 6,52+2 8,3126,52=6,715 tb=22c2+2a2b2=22 8,312+2 6,526,52=6,715 tc=22a2+2b2c2=22 6,52+2 6,528,312=4,999

Vypočítať ďaľší trojuholník