Výpočet trojuholníka SSS - výsledok
Ostrouhlý rovnoramenný trojuholník.
Strany: a = 6,5 b = 6,5 c = 8,31Obsah trojuholníka: S = 20,7699171795
Obvod trojuholníka: o = 21,31
Semiperimeter (poloobvod): s = 10,655
Uhol ∠ A = α = 50,2665516214° = 50°15'56″ = 0,87772987581 rad
Uhol ∠ B = β = 50,2665516214° = 50°15'56″ = 0,87772987581 rad
Uhol ∠ C = γ = 79,46989675719° = 79°28'8″ = 1,38769951373 rad
Výška trojuholníka: va = 6,39105143985
Výška trojuholníka: vb = 6,39105143985
Výška trojuholníka: vc = 4,99985973032
Ťažnica: ta = 6,71549497392
Ťažnica: tb = 6,71549497392
Ťažnica: tc = 4,99985973032
Polomer vpísanej kružnice: r = 1,9499241839
Polomer opísanej kružnice: R = 4,22661856114
Súradnice vrcholov: A[8,31; 0] B[0; 0] C[4,155; 4,99985973032]
Ťažisko: T[4,155; 1,66661991011]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[4,155; 0,77224116919]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[4,155; 1,9499241839]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 129,7344483786° = 129°44'4″ = 0,87772987581 rad
∠ B' = β' = 129,7344483786° = 129°44'4″ = 0,87772987581 rad
∠ C' = γ' = 100,53110324281° = 100°31'52″ = 1,38769951373 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=6,5 b=6,5 c=8,31
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=6,5+6,5+8,31=21,31
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=221,31=10,66
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=10,66(10,66−6,5)(10,66−6,5)(10,66−8,31) S=431,36=20,77
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=6,52⋅ 20,77=6,39 vb=b2 S=6,52⋅ 20,77=6,39 vc=c2 S=8,312⋅ 20,77=5
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 6,5⋅ 8,316,52+8,312−6,52)=50°15′56" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 6,5⋅ 8,316,52+8,312−6,52)=50°15′56" γ=180°−α−β=180°−50°15′56"−50°15′56"=79°28′8"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=10,6620,77=1,95
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 1,949⋅ 10,6556,5⋅ 6,5⋅ 8,31=4,23
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 6,52+2⋅ 8,312−6,52=6,715 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 8,312+2⋅ 6,52−6,52=6,715 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 6,52+2⋅ 6,52−8,312=4,999
Vypočítať ďaľší trojuholník