Výpočet trojuholníka SSS - výsledok

Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 7 b = 4,61 c = 6,36

Obsah trojuholníka: S = 14,31217578274
Obvod trojuholníka: o = 17,97
Semiperimeter (poloobvod): s = 8,985

Uhol ∠ A = α = 77,49901376067° = 77°29'25″ = 1,35224580391 rad
Uhol ∠ B = β = 40,01111079478° = 40°40″ = 0,69883255711 rad
Uhol ∠ C = γ = 62,49987544455° = 62°29'56″ = 1,09108090435 rad

Výška trojuholníka: v_a = 4,0899073665
Výška trojuholníka: v_b = 6,2099005565
Výška trojuholníka: v_c = 4,50105527759

Ťažnica: t_a = 4,3132870274
Ťažnica: t_b = 6,27878798173
Ťažnica: t_c = 5,00113648137

Polomer vpísanej kružnice: r = 1,59328500643
Polomer opísanej kružnice: R = 3,58551151633

Súradnice vrcholov: A[6,36; 0] B[0; 0] C[5,36114386792; 4,50105527759]
Ťažisko: T[3,90771462264; 1.55001842586]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[3,18; 1,65554910854]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[4,375; 1,59328500643]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 102,51098623933° = 102°30'35″ = 1,35224580391 rad
∠ B' = β' = 139,98988920522° = 139°59'20″ = 0,69883255711 rad
∠ C' = γ' = 117,50112455545° = 117°30'4″ = 1,09108090435 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 7 b = 4, 61 c = 6, 36

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 7 + 4, 61 + 6, 36 = 17, 97

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{1 7 , 9 7}{2} = 8, 99

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 8, 99 (8, 99 - 7) (8, 99 - 4, 61) (8, 99 - 6, 36) S = 204, 83 = 14, 31

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 4 , 3 1}{7} = 4, 09 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 4 , 3 1}{4 , 6 1} = 6, 21 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 4 , 3 1}{6 , 3 6} = 4, 5

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{4 , 6 1 ^{2} + 6 , 3 6 ^{2} - 7 ^{2}}{2 \cdot 4 , 6 1 \cdot 6 , 3 6}) = 77 ° 2 9^{'} 25 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{7 ^{2} + 6 , 3 6 ^{2} - 4 , 6 1 ^{2}}{2 \cdot 7 \cdot 6 , 3 6}) = 40 ° 40 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 77 ° 2 9^{'} 25 " - 40 ° 40 " = 62 ° 2 9^{'} 56 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 4 , 3 1}{8 , 9 9} = 1, 59

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{7 \cdot 4 , 6 1 \cdot 6 , 3 6}{4 \cdot 1 , 5 9 3 \cdot 8 , 9 8 5} = 3, 59

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 4 , 6 1 ^{2} + 2 \cdot 6 , 3 6 ^{2} - 7 ^{2}}{2} = 4, 313 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 6 , 3 6 ^{2} + 2 \cdot 7 ^{2} - 4 , 6 1 ^{2}}{2} = 6, 278 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 7 ^{2} + 2 \cdot 4 , 6 1 ^{2} - 6 , 3 6 ^{2}}{2} = 5, 001

Vypočítať ďaľší trojuholník