Výpočet trojuholníka SSS - výsledok
Tupouhlý rovnoramenný trojuholník.
Strany: a = 7 b = 7 c = 9,9Obsah trojuholníka: S = 24.54999998724
Obvod trojuholníka: o = 23,9
Semiperimeter (poloobvod): s = 11,95
Uhol ∠ A = α = 44,99770767459° = 44°59'49″ = 0,7855347143 rad
Uhol ∠ B = β = 44,99770767459° = 44°59'49″ = 0,7855347143 rad
Uhol ∠ C = γ = 90,00658465081° = 90°21″ = 1,57108983676 rad
Výška trojuholníka: va = 76,9999999636
Výška trojuholníka: vb = 76,9999999636
Výška trojuholníka: vc = 4,94994949237
Ťažnica: ta = 7,8276557353
Ťažnica: tb = 7,8276557353
Ťažnica: tc = 4,94994949237
Polomer vpísanej kružnice: r = 2,05502091943
Polomer opísanej kružnice: R = 4,95500000258
Súradnice vrcholov: A[9,9; 0] B[0; 0] C[4,95; 4,94994949237]
Ťažisko: T[4,95; 1,65498316412]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[4,95; -0,0010505102]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[4,95; 2,05502091943]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 135,00329232541° = 135°11″ = 0,7855347143 rad
∠ B' = β' = 135,00329232541° = 135°11″ = 0,7855347143 rad
∠ C' = γ' = 89,99441534919° = 89°59'39″ = 1,57108983676 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=7 b=7 c=9,9
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=7+7+9,9=23,9
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=223,9=11,95
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=11,95(11,95−7)(11,95−7)(11,95−9,9) S=600,25=24,5
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=72⋅ 24,5=7 vb=b2 S=72⋅ 24,5=7 vc=c2 S=9,92⋅ 24,5=4,95
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 7⋅ 9,972+9,92−72)=44°59′49" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 7⋅ 9,972+9,92−72)=44°59′49" γ=180°−α−β=180°−44°59′49"−44°59′49"=90°21"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=11,9524,5=2,05
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 2,05⋅ 11,957⋅ 7⋅ 9,9=4,95
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 72+2⋅ 9,92−72=7,827 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 9,92+2⋅ 72−72=7,827 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 72+2⋅ 72−9,92=4,949
Vypočítať ďaľší trojuholník