Výpočet trojuholníka SSS - výsledok
Ostrouhlý rovnoramenný trojuholník.
Strany: a = 7,78 b = 7,78 c = 10Obsah trojuholníka: S = 29,80328522125
Obvod trojuholníka: o = 25,56
Semiperimeter (poloobvod): s = 12,78
Uhol ∠ A = α = 50,00985325899° = 50°31″ = 0,87328135478 rad
Uhol ∠ B = β = 50,00985325899° = 50°31″ = 0,87328135478 rad
Uhol ∠ C = γ = 79,98329348201° = 79°58'59″ = 1,3965965558 rad
Výška trojuholníka: va = 7,6611401597
Výška trojuholníka: vb = 7,6611401597
Výška trojuholníka: vc = 5,96105704425
Ťažnica: ta = 8,07704460843
Ťažnica: tb = 8,07704460843
Ťažnica: tc = 5,96105704425
Polomer vpísanej kružnice: r = 2,33219915659
Polomer opísanej kružnice: R = 5,07773999388
Súradnice vrcholov: A[10; 0] B[0; 0] C[5; 5,96105704425]
Ťažisko: T[5; 1,98768568142]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[5; 0,88331705037]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[5; 2,33219915659]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 129,99114674101° = 129°59'29″ = 0,87328135478 rad
∠ B' = β' = 129,99114674101° = 129°59'29″ = 0,87328135478 rad
∠ C' = γ' = 100,01770651799° = 100°1'1″ = 1,3965965558 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=7,78 b=7,78 c=10
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=7,78+7,78+10=25,56
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=225,56=12,78
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=12,78(12,78−7,78)(12,78−7,78)(12,78−10) S=888,21=29,8
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=7,782⋅ 29,8=7,66 vb=b2 S=7,782⋅ 29,8=7,66 vc=c2 S=102⋅ 29,8=5,96
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 7,78⋅ 107,782+102−7,782)=50°31" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 7,78⋅ 107,782+102−7,782)=50°31" γ=180°−α−β=180°−50°31"−50°31"=79°58′59"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=12,7829,8=2,33
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 2,332⋅ 12,787,78⋅ 7,78⋅ 10=5,08
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 7,782+2⋅ 102−7,782=8,07 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 102+2⋅ 7,782−7,782=8,07 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 7,782+2⋅ 7,782−102=5,961
Vypočítať ďaľší trojuholník