Výpočet trojuholníka SSS - výsledok

Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 70 b = 95 c = 30

Obsah trojuholníka: S = 672,65221667995
Obvod trojuholníka: o = 195
Semiperimeter (poloobvod): s = 97,5

Uhol ∠ A = α = 28,16765785968° = 28°10' = 0,49215995355 rad
Uhol ∠ B = β = 140,16218501944° = 140°9'43″ = 2,44662857716 rad
Uhol ∠ C = γ = 11,67215712088° = 11°40'18″ = 0,20437073465 rad

Výška trojuholníka: v_a = 19,21986333371
Výška trojuholníka: v_b = 14,16110982484
Výška trojuholníka: v_c = 44,84334777866

Ťažnica: t_a = 61,13550963032
Ťažnica: t_b = 25,37222289127
Ťažnica: t_c = 82,08222757969

Polomer vpísanej kružnice: r = 6,89989965826
Polomer opísanej kružnice: R = 74,1476791554

Súradnice vrcholov: A[30; 0] B[0; 0] C[-53,75; 44,84334777866]
Ťažisko: T[-7,91766666667; 14,94878259289]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[15; 72,61436812023]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[2,5; 6,89989965826]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 151,83334214032° = 151°50' = 0,49215995355 rad
∠ B' = β' = 39,83881498056° = 39°50'17″ = 2,44662857716 rad
∠ C' = γ' = 168,32884287912° = 168°19'42″ = 0,20437073465 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 70 b = 95 c = 30

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 70 + 95 + 30 = 195

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{1 9 5}{2} = 97, 5

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 97, 5 (97, 5 - 70) (97, 5 - 95) (97, 5 - 30) S = 452460, 94 = 672, 65

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 6 7 2 , 6 5}{7 0} = 19, 22 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 6 7 2 , 6 5}{9 5} = 14, 16 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 6 7 2 , 6 5}{3 0} = 44, 84

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{9 5 ^{2} + 3 0 ^{2} - 7 0 ^{2}}{2 \cdot 9 5 \cdot 3 0}) = 28 ° 1 0^{'} b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{7 0 ^{2} + 3 0 ^{2} - 9 5 ^{2}}{2 \cdot 7 0 \cdot 3 0}) = 140 ° 9^{'} 43 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 28 ° 1 0^{'} - 140 ° 9^{'} 43 " = 11 ° 4 0^{'} 18 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{6 7 2 , 6 5}{9 7 , 5} = 6, 9

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{7 0 \cdot 9 5 \cdot 3 0}{4 \cdot 6 , 8 9 9 \cdot 9 7 , 5} = 74, 15

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 9 5 ^{2} + 2 \cdot 3 0 ^{2} - 7 0 ^{2}}{2} = 61, 135 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 3 0 ^{2} + 2 \cdot 7 0 ^{2} - 9 5 ^{2}}{2} = 25, 372 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 7 0 ^{2} + 2 \cdot 9 5 ^{2} - 3 0 ^{2}}{2} = 82, 082

Vypočítať ďaľší trojuholník