Výpočet trojuholníka SSS - výsledok
Tupouhlý rôznostranný trojuholník.
Strany: a = 8,25 b = 15,62 c = 12,65Obsah trojuholníka: S = 52,03296398127
Obvod trojuholníka: o = 36,52
Semiperimeter (poloobvod): s = 18,26
Uhol ∠ A = α = 31,77883385043° = 31°46'42″ = 0,55546366377 rad
Uhol ∠ B = β = 94,36986755408° = 94°22'7″ = 1,64770440989 rad
Uhol ∠ C = γ = 53,85329859549° = 53°51'11″ = 0,94399119169 rad
Výška trojuholníka: va = 12,61332460152
Výška trojuholníka: vb = 6,66219257123
Výška trojuholníka: vc = 8,22660300099
Ťažnica: ta = 13,60110229395
Ťažnica: tb = 7,28332959572
Ťažnica: tc = 10,77111570873
Polomer vpísanej kružnice: r = 2,84993778649
Polomer opísanej kružnice: R = 7,83327577121
Súradnice vrcholov: A[12,65; 0] B[0; 0] C[-0,62884347826; 8,22660300099]
Ťažisko: T[4,00771884058; 2,74220100033]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[6,325; 4,62202238448]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[2,64; 2,84993778649]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 148,22216614957° = 148°13'18″ = 0,55546366377 rad
∠ B' = β' = 85,63113244592° = 85°37'53″ = 1,64770440989 rad
∠ C' = γ' = 126,14770140451° = 126°8'49″ = 0,94399119169 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=8,25 b=15,62 c=12,65
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=8,25+15,62+12,65=36,52
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=236,52=18,26
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=18,26(18,26−8,25)(18,26−15,62)(18,26−12,65) S=2707,08=52,03
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=8,252⋅ 52,03=12,61 vb=b2 S=15,622⋅ 52,03=6,66 vc=c2 S=12,652⋅ 52,03=8,23
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 15,62⋅ 12,6515,622+12,652−8,252)=31°46′42" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 8,25⋅ 12,658,252+12,652−15,622)=94°22′7" γ=180°−α−β=180°−31°46′42"−94°22′7"=53°51′11"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=18,2652,03=2,85
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 2,849⋅ 18,268,25⋅ 15,62⋅ 12,65=7,83
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 15,622+2⋅ 12,652−8,252=13,601 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 12,652+2⋅ 8,252−15,622=7,283 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 8,252+2⋅ 15,622−12,652=10,771
Vypočítať ďaľší trojuholník