Výpočet trojuholníka SSS - výsledok

Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 9 b = 6 c = 10,82

Obsah trojuholníka: S = 276,9999939331
Obvod trojuholníka: o = 25,82
Semiperimeter (poloobvod): s = 12,91

Uhol ∠ A = α = 56,28333436383° = 56°17' = 0,98223296605 rad
Uhol ∠ B = β = 33,67882469659° = 33°40'42″ = 0,58877962959 rad
Uhol ∠ C = γ = 90,03884093958° = 90°2'18″ = 1,57114666972 rad

Výška trojuholníka: v_a = 65,9999986518
Výška trojuholníka: v_b = 98,9999979777
Výška trojuholníka: v_c = 4,99107567344

Ťažnica: t_a = 7,50224129452
Ťažnica: t_b = 9,48987406962
Ťažnica: t_c = 5,40766533087

Polomer vpísanej kružnice: r = 2,0911401544
Polomer opísanej kružnice: R = 5,41100012156

Súradnice vrcholov: A[10,82; 0] B[0; 0] C[7,48994824399; 4,99107567344]
Ťažisko: T[6,10331608133; 1,66435855781]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[5,41; -0,00436267045]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[6,91; 2,0911401544]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 123,71766563617° = 123°43' = 0,98223296605 rad
∠ B' = β' = 146,32217530341° = 146°19'18″ = 0,58877962959 rad
∠ C' = γ' = 89,96215906042° = 89°57'42″ = 1,57114666972 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 9 b = 6 c = 10, 82

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 9 + 6 + 10, 82 = 25, 82

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{2 5 , 8 2}{2} = 12, 91

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 12, 91 (12, 91 - 9) (12, 91 - 6) (12, 91 - 10, 82) S = 729 = 27

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 2 7}{9} = 6 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 2 7}{6} = 9 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 2 7}{1 0 , 8 2} = 4, 99

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{6 ^{2} + 1 0 , 8 2 ^{2} - 9 ^{2}}{2 \cdot 6 \cdot 1 0 , 8 2}) = 56 ° 1 7^{'} b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{9 ^{2} + 1 0 , 8 2 ^{2} - 6 ^{2}}{2 \cdot 9 \cdot 1 0 , 8 2}) = 33 ° 4 0^{'} 42 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 56 ° 1 7^{'} - 33 ° 4 0^{'} 42 " = 90 ° 2^{'} 18 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{2 7}{1 2 , 9 1} = 2, 09

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{9 \cdot 6 \cdot 1 0 , 8 2}{4 \cdot 2 , 0 9 1 \cdot 1 2 , 9 1} = 5, 41

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

Vypočítať ďaľší trojuholník