Výpočet trojuholníka SSS - výsledok

Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 9,63 b = 22 c = 22,43

Obsah trojuholníka: S = 104,31883130423
Obvod trojuholníka: o = 54,06
Semiperimeter (poloobvod): s = 27,03

Uhol ∠ A = α = 25,01217125229° = 25°42″ = 0,43765367351 rad
Uhol ∠ B = β = 74,99656738676° = 74°59'44″ = 1,30989214337 rad
Uhol ∠ C = γ = 79,99326136094° = 79°59'33″ = 1,39661344848 rad

Výška trojuholníka: v_a = 21,66552778904
Výška trojuholníka: v_b = 9,48334830038
Výška trojuholníka: v_c = 9,30216774893

Ťažnica: t_a = 21,68879742023
Ťažnica: t_b = 13,30111616034
Ťažnica: t_c = 12,7511165633

Polomer vpísanej kružnice: r = 3,85993530537
Polomer opísanej kružnice: R = 11,38882684195

Súradnice vrcholov: A[22,43; 0] B[0; 0] C[2,4933129737; 9,30216774893]
Ťažisko: T[8,30877099123; 3,10105591631]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[11,215; 1,97989978766]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[5,03; 3,85993530537]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 154,98882874771° = 154°59'18″ = 0,43765367351 rad
∠ B' = β' = 105,00443261324° = 105°16″ = 1,30989214337 rad
∠ C' = γ' = 100,00773863906° = 100°27″ = 1,39661344848 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 9, 63 b = 22 c = 22, 43

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 9, 63 + 22 + 22, 43 = 54, 06

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{5 4 , 0 6}{2} = 27, 03

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 27, 03 (27, 03 - 9, 63) (27, 03 - 22) (27, 03 - 22, 43) S = 10882, 31 = 104, 32

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 0 4 , 3 2}{9 , 6 3} = 21, 67 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 0 4 , 3 2}{2 2} = 9, 48 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 0 4 , 3 2}{2 2 , 4 3} = 9, 3

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{2 2 ^{2} + 2 2 , 4 3 ^{2} - 9 , 6 3 ^{2}}{2 \cdot 2 2 \cdot 2 2 , 4 3}) = 25 ° 42 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{9 , 6 3 ^{2} + 2 2 , 4 3 ^{2} - 2 2 ^{2}}{2 \cdot 9 , 6 3 \cdot 2 2 , 4 3}) = 74 ° 5 9^{'} 44 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 25 ° 42 " - 74 ° 5 9^{'} 44 " = 79 ° 5 9^{'} 33 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 0 4 , 3 2}{2 7 , 0 3} = 3, 86

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{9 , 6 3 \cdot 2 2 \cdot 2 2 , 4 3}{4 \cdot 3 , 8 5 9 \cdot 2 7 , 0 3} = 11, 39

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 2 ^{2} + 2 \cdot 2 2 , 4 3 ^{2} - 9 , 6 3 ^{2}}{2} = 21, 688 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 2 , 4 3 ^{2} + 2 \cdot 9 , 6 3 ^{2} - 2 2 ^{2}}{2} = 13, 301 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 9 , 6 3 ^{2} + 2 \cdot 2 2 ^{2} - 2 2 , 4 3 ^{2}}{2} = 12, 751

Vypočítať ďaľší trojuholník