Betka
Betka si myslela prirodzené číslo s navzájom rôznymi ciframi a napísala ho na tabuľu.
Podeň zapísala cifry pôvodného čísla odzadu a tak získala nové číslo. Sčítaním týchto dvoch čísel dostala číslo, ktoré malo rovnaký počet cifier ako myslené číslo a skladalo sa iba z cifier mysleného čísla (avšak nemuselo obsahovať všetky jeho cifry). Erike sa Betkino číslo zapáčilo a chcela nájsť iné číslo s rovnakými vlastnosťami. Zistila, že neexistuje menšie také číslo ako
Betkino a väčšie sa jej hľadať nechcelo. Určte, aké číslo si myslela Betka a aké číslo by mohla nájsť Erika, keby mala viac trpezlivosti.
Podeň zapísala cifry pôvodného čísla odzadu a tak získala nové číslo. Sčítaním týchto dvoch čísel dostala číslo, ktoré malo rovnaký počet cifier ako myslené číslo a skladalo sa iba z cifier mysleného čísla (avšak nemuselo obsahovať všetky jeho cifry). Erike sa Betkino číslo zapáčilo a chcela nájsť iné číslo s rovnakými vlastnosťami. Zistila, že neexistuje menšie také číslo ako
Betkino a väčšie sa jej hľadať nechcelo. Určte, aké číslo si myslela Betka a aké číslo by mohla nájsť Erika, keby mala viac trpezlivosti.
Správna odpoveď:
Zobrazujem 1 komentár:
Peter2
Nápoveda. Zvážte postupne možnosti, kedy je myslené číslo jednomiestne, dvojmiestne atď. V jednotlivých prípadoch premýšľajte postupne nad možnými súčty na mieste jednotiek, desiatok atď.
Možné riešenie. Najprv nájdeme Betkine číslo, tj. najmenšie číslo s uvedenými vlastnosťami.
1) Predpokladajme, že Betkine číslo je jednomiestne, a označíme si ich a. Potom by podľa zadania muselo platiť a + a = a, čo platí len v prípade a = 0. Nula však nie je prirodzené číslo, takže Betkine myslenej číslo nemôže byť jednomiestne.
2) Predpokladajme, že Betkine číslo je dvojmiestne, a označíme si ich ab. Či už súčet ab + ba dopadne akokoľvek, na mieste jednotiek čítame buď b + a = a, alebo b + a = b. Odtiaľ dostávame buď b = 0, alebo a = 0. V takom prípade by však buď číslo ba, alebo číslo ab nebolo dvojciferné. Betkine myslené číslo teda nemôže byť dvojmiestne.
3) Predpokladajme, že Betkine číslo je trojmiestne, a označíme si ich abc. Z rovnakého dôvodu ako vyššie nemôžu byť čísla aac nuly, teda v súčte abc + cba sa na mieste jednotiek môže objaviť jedine b:
a b c
c b a
____
* * b
Súčasne c + a nemôže byť väčšia ako 9, pretože potom by celkový súčet abc + cba nebol trojmiestny. Odtiaľ sa dozvedáme, že a + c = b čo okrem iného znamená, že ani číslica b nemôže byť 0. Odtiaľ vyplýva, že súčet b + b na mieste desiatok nemôže byť menšia ako 10; v takom prípade by tento súčet bol rovný jednému z čísel a, b, c, čo vždy vedie k nejakému sporu s predchádzajúcimi poznatkami:
Ak b + b = a alebo b + b = c, potom podľa (1) dostávame 2a + 2c = a alebo 2a + 2c = c, teda a = -2C alebo c = -2a, čo nie je možné.
• Ak b + b = b, potom b = 0, čo nie je možné.
Súčet b + b na mieste desiatok však nemôže byť ani väčšia než 9. V takom prípade by súčet na mieste stoviek bol a + c + 1 a toto číslo má byť presne jednému z čísel a, b, c; to vždy vedie k nejakému sporu:
• Ak a + c + 1 = a alebo a + c + 1 = c, potom c = -1 alebo a = -1, čo nie je možné.
• Ak a + c + 1 = b, potom podľa (1) dostávame b + 1 = b, teda 1 = 0, čo nie je možné.
Betkine myslené číslo teda nemôže byť ani trojmiestne.
4) Predpokladajme, že Betkine číslo je štvormiestne, a označíme si ich abcd. Z rovnakého dôvodu ako vyššie nemôžu byť čísla aad nuly, teda v súčte abcd + dcba sa na mieste jednotiek môže objaviť buď b, alebo c:
a b c d
d c b a
----------
* * * b
a b c d
d c b a
----------
* * * c
Súčasne d + a nemôže byť väčšia ako 9, pretože potom by celkový súčet abcd + DCBA nebol štvormiestny. Odtiaľ sa dozvedáme, že
buď a + d = b, (dalej len 2)
alebo a + d = c. (dalej len 3)
To okrem iného znamená, že buď b <> 0, alebo c <> 0.
Teraz predpokladáme, že súčet c + b na mieste desiatok je menšia ako 10, tzn. tento súčet je rovný jednému z čísel a, b, c, d, a preskúmame jednotlivé prípady. Najprv uvažujme platnosť (2), a teda b <> 0:
• Ak b + c = a alebo b + c = d, potom podľa (2) dostávame a + d + c = a alebo a + d + c = d, teda c = -d alebo c = -a, čo nie je možné .
• Ak b + c = b, potom c = 0 (čo ničomu nevadí).
• Ak b + c = c, potom b = 0, čo nie je možné.
Podobne, za predpokladu (3) zistíme, že jediná prípustná možnosť je b + c = c, teda b = 0
Celkom tak objavujeme dva možné prípady:
a b 0 d
d 0 b a
----------
b b b b
a 0 c d
d c 0 a
----------
c c c c
Pretože Betkine číslo je najmenšie číslo vyhovujúce všetkým uvedeným podmienkam, vôbec sa nemusíme zaoberať prípadom, kedy súčet c + b je väčší ako 9, a sústredíme sa výhradne na druhú z vyššie menovaných možností, tj. B = 0. Dosadíme najmenšie možné číslo na miesto tisícok a = 1 a zisťujeme, že c = d + 1. Najmenší vyhovujúce možnosť je d = 2 ac = 3. Betka si teda hrala s číslom 1032 a jej výpočet vyzeral takto:
1 0 3 2
2 3 0 1
----------
3 3 3 3
Z vyššie uvedeného je teraz jednoduché doplniť nejaké iné číslo s uvedenými vlastnosťami, teda nejaké Eričino číslo. Napr. stačí v Bětčině čísle zameniť číslica na mieste jednotiek a tisícoviek alebo číslice na mieste desiatok a stoviek, príp. uvažovať akékoľvek čísla tvaru (4). Medzi možnými riešeniami sú tiež čísla, kedy súčet c + b je väčšia než 9. Tu je niekoľko riešení, na ktoré mohla Erika prísť, keby nebola však tak netrpezlivá:
1 0 4 3
3 4 0 1
----------
4 4 4 4
1 3 0 2
2 0 3 1
----------
3 3 3 3
1 8 9 7
7 9 8 1
----------
9 8 7 8
Poznámky. a) Ak vieme zdôvodniť, že hľadané Betkine číslo musí byť aspoň štvormiestne, potom je možné ľahko nájsť skúšaním:
Najmenšie štvormiestne číslo s navzájom rôznymi číslicami je 1023. Toto číslo však nie je riešením, pretože 1023 + 3201 = 4224. Ak nás napadne prehodiť číslica 2 a 3, dostaneme vyhovujúce riešenie: 1032 + 2301 = 3333. Aby sme sa presvedčili, že toto riešenie je najmenšie možné, stačí overiť, že žiadne číslo medzi 1023 a 1032 nevyhovuje niektoré z uvedených podmienok.
b) Nahradenie ostatných úvah skúšaním je tiež možné, avšak často veľmi prácné. Avšak ak je riešenie založené na skúšaní úplné, nech je považované za správne.
Akékoľvek čiastkové všeobecné postrehy môžu počet možností k preskúšaniu zaujímavo znižovať (napr. Počet trojíc rôznych čísiel od 1 do 9 vyhovujúcich rovnosti (1) určite nie je väčší ako 32.
Možné riešenie. Najprv nájdeme Betkine číslo, tj. najmenšie číslo s uvedenými vlastnosťami.
1) Predpokladajme, že Betkine číslo je jednomiestne, a označíme si ich a. Potom by podľa zadania muselo platiť a + a = a, čo platí len v prípade a = 0. Nula však nie je prirodzené číslo, takže Betkine myslenej číslo nemôže byť jednomiestne.
2) Predpokladajme, že Betkine číslo je dvojmiestne, a označíme si ich ab. Či už súčet ab + ba dopadne akokoľvek, na mieste jednotiek čítame buď b + a = a, alebo b + a = b. Odtiaľ dostávame buď b = 0, alebo a = 0. V takom prípade by však buď číslo ba, alebo číslo ab nebolo dvojciferné. Betkine myslené číslo teda nemôže byť dvojmiestne.
3) Predpokladajme, že Betkine číslo je trojmiestne, a označíme si ich abc. Z rovnakého dôvodu ako vyššie nemôžu byť čísla aac nuly, teda v súčte abc + cba sa na mieste jednotiek môže objaviť jedine b:
a b c
c b a
____
* * b
Súčasne c + a nemôže byť väčšia ako 9, pretože potom by celkový súčet abc + cba nebol trojmiestny. Odtiaľ sa dozvedáme, že a + c = b čo okrem iného znamená, že ani číslica b nemôže byť 0. Odtiaľ vyplýva, že súčet b + b na mieste desiatok nemôže byť menšia ako 10; v takom prípade by tento súčet bol rovný jednému z čísel a, b, c, čo vždy vedie k nejakému sporu s predchádzajúcimi poznatkami:
Ak b + b = a alebo b + b = c, potom podľa (1) dostávame 2a + 2c = a alebo 2a + 2c = c, teda a = -2C alebo c = -2a, čo nie je možné.
• Ak b + b = b, potom b = 0, čo nie je možné.
Súčet b + b na mieste desiatok však nemôže byť ani väčšia než 9. V takom prípade by súčet na mieste stoviek bol a + c + 1 a toto číslo má byť presne jednému z čísel a, b, c; to vždy vedie k nejakému sporu:
• Ak a + c + 1 = a alebo a + c + 1 = c, potom c = -1 alebo a = -1, čo nie je možné.
• Ak a + c + 1 = b, potom podľa (1) dostávame b + 1 = b, teda 1 = 0, čo nie je možné.
Betkine myslené číslo teda nemôže byť ani trojmiestne.
4) Predpokladajme, že Betkine číslo je štvormiestne, a označíme si ich abcd. Z rovnakého dôvodu ako vyššie nemôžu byť čísla aad nuly, teda v súčte abcd + dcba sa na mieste jednotiek môže objaviť buď b, alebo c:
a b c d
d c b a
----------
* * * b
a b c d
d c b a
----------
* * * c
Súčasne d + a nemôže byť väčšia ako 9, pretože potom by celkový súčet abcd + DCBA nebol štvormiestny. Odtiaľ sa dozvedáme, že
buď a + d = b, (dalej len 2)
alebo a + d = c. (dalej len 3)
To okrem iného znamená, že buď b <> 0, alebo c <> 0.
Teraz predpokladáme, že súčet c + b na mieste desiatok je menšia ako 10, tzn. tento súčet je rovný jednému z čísel a, b, c, d, a preskúmame jednotlivé prípady. Najprv uvažujme platnosť (2), a teda b <> 0:
• Ak b + c = a alebo b + c = d, potom podľa (2) dostávame a + d + c = a alebo a + d + c = d, teda c = -d alebo c = -a, čo nie je možné .
• Ak b + c = b, potom c = 0 (čo ničomu nevadí).
• Ak b + c = c, potom b = 0, čo nie je možné.
Podobne, za predpokladu (3) zistíme, že jediná prípustná možnosť je b + c = c, teda b = 0
Celkom tak objavujeme dva možné prípady:
a b 0 d
d 0 b a
----------
b b b b
a 0 c d
d c 0 a
----------
c c c c
Pretože Betkine číslo je najmenšie číslo vyhovujúce všetkým uvedeným podmienkam, vôbec sa nemusíme zaoberať prípadom, kedy súčet c + b je väčší ako 9, a sústredíme sa výhradne na druhú z vyššie menovaných možností, tj. B = 0. Dosadíme najmenšie možné číslo na miesto tisícok a = 1 a zisťujeme, že c = d + 1. Najmenší vyhovujúce možnosť je d = 2 ac = 3. Betka si teda hrala s číslom 1032 a jej výpočet vyzeral takto:
1 0 3 2
2 3 0 1
----------
3 3 3 3
Z vyššie uvedeného je teraz jednoduché doplniť nejaké iné číslo s uvedenými vlastnosťami, teda nejaké Eričino číslo. Napr. stačí v Bětčině čísle zameniť číslica na mieste jednotiek a tisícoviek alebo číslice na mieste desiatok a stoviek, príp. uvažovať akékoľvek čísla tvaru (4). Medzi možnými riešeniami sú tiež čísla, kedy súčet c + b je väčšia než 9. Tu je niekoľko riešení, na ktoré mohla Erika prísť, keby nebola však tak netrpezlivá:
1 0 4 3
3 4 0 1
----------
4 4 4 4
1 3 0 2
2 0 3 1
----------
3 3 3 3
1 8 9 7
7 9 8 1
----------
9 8 7 8
Poznámky. a) Ak vieme zdôvodniť, že hľadané Betkine číslo musí byť aspoň štvormiestne, potom je možné ľahko nájsť skúšaním:
Najmenšie štvormiestne číslo s navzájom rôznymi číslicami je 1023. Toto číslo však nie je riešením, pretože 1023 + 3201 = 4224. Ak nás napadne prehodiť číslica 2 a 3, dostaneme vyhovujúce riešenie: 1032 + 2301 = 3333. Aby sme sa presvedčili, že toto riešenie je najmenšie možné, stačí overiť, že žiadne číslo medzi 1023 a 1032 nevyhovuje niektoré z uvedených podmienok.
b) Nahradenie ostatných úvah skúšaním je tiež možné, avšak často veľmi prácné. Avšak ak je riešenie založené na skúšaní úplné, nech je považované za správne.
Akékoľvek čiastkové všeobecné postrehy môžu počet možností k preskúšaniu zaujímavo znižovať (napr. Počet trojíc rôznych čísiel od 1 do 9 vyhovujúcich rovnosti (1) určite nie je väčší ako 32.
Na vyriešenie tejto úlohy sú potrebné tieto znalosti z matematiky:
Téma:
Úroveň náročnosti úlohy:
Súvisiace a podobné príklady:
- Priklad – 8. rocnik (asi MO)
Adam napı́sal nasledujúci súčet s piatimi tajnými sčı́tancami: a + bb + ccc + dddd + eeeee. Prezradil, že znaky „a, b, c, d, e“ predstavujú navzájom rôzne cifry 1, 2, 3, 4, 5 a že výsledný súčet je deliteľný 11. Ktoré najmenšie a ktoré na - Odpočítajú 82333
Myslím si tri čísla, keď ich sčítam dostanem 16, keď od súčtu prvých dvoch čísel odpočítajú tretie dostanem 10, keď od súčtu prvého a tretieho čísla odčítajú druhé dostanem 8. Ktoré čísla si myslím? - Nikola
Nikola mala v zošite napísané jedno trojciferne a jedno dvojciferné číslo. Každé z týchto čísel bolo tvorené navzájom rôznymi číslicami. Rozdiel Nikolinych čísel bol 976. Aký bol ich súčet? - Vierka 3 MO Z8
Vierka z troch daných číslic zostavovala navzájom rôzne trojmiestne čísla. Keď všetky tieto čísla sčítala, vyšlo jej 1221. Aké číslice Vierka použila? Určte päť možností
- Určte
Určte počet deväťmiestnych čı́sel, v ktorých sa každá z čı́slic 0 až 9 vyskytuje najviac raz a v ktorých sa súčty čı́slic na 1. až 3. mieste, na 3. až 5. mieste, na 5. až 7. mieste a na 7. až 9. mieste vždy rovnajú 10. Nájdite aj najme - Veveričky
Veveričky objavili ker s lieskovými orieškami. Prvé veverička odtrhla jeden oriešok, druhá veverička dva oriešky, tretí veverička tri oriešky. Každá ďalšia veverička odtrhla vždy o jeden oriešok viac ako predchádzajúci veverička. Keď otrhali všetky oriešk - Pážata MO Z6-I-4
Raz si kráľ zavolal všetky svoje pážatá a postavil ich do radu. Prvému pážaťu dal určitý počet dukátov, druhému dal o dva dukáty menej, tretiemu opäť o dva dukáty menej a tak ďalej. Keď došiel k poslednému pážaťu, dal mu príslušný počet dukátov, otočil sa - Z8–I–5 MO 2019
Pre osem navzájom rôznych bodov ako na obrázku platí, že body C, D, E ležia na priamke rovnobežnej s priamkou AB, F je stredom úsečky AD, G je stredom úsečky AC a H je priesečníkom priamok AC a BE. Obsah trojuholníka BCG je 12 cm² a obsah štvoruholníka DF - MO Z7–I–3 2019
Roman má rád kúzla a matematiku. Naposledy čaroval s trojcifernými alebo štvorcifernými číslami takto: • z daného čísla vytvoril dve pomocné čísla tak, že ho rozdelil medzi ciframi na mieste stoviek a desiatok (napr. Z čísla 581 by dostal 5 a 81), • pomoc
- MO 2019 Z9–I–5
Majka skúmala viacciferné čísla, v ktorých sa po jednej striedajú nepárne a párne cifry. Tie, ktoré začínajú nepárnou cifrou, nazvala komické a tie, ktoré začínajú párnou cifrou, nazvala veselé. (Napr. Číslo 32387 je komické, číslo 4529 je veselé. ) Majka - Samopočet
Samopočet funguje presne ako kalkulačka. Hostinský chcel na samopočte sčítať niekoľko trojciferných prirodzených čísel. Na prvý pokus dostal výsledok 2224. Pre kontrolu sčítal tieto čísla znova a vyšlo mu 2198. Preto sčítal tieto čísla ešte raz a teraz do - Z6–I–5 MO 2018
V nasledujúcom príklade na sčítanie predstavujú rovnaké písmená rovnaké cifry, rôzne písmená rôzne cifry: RATAM RAD -------------- ULOHY Nahraďte písmená ciframi tak, aby bol príklad správne. Nájdite dve rôzne nahradenia. - Z5 – I – 5
Tomáš dostal deväť kartičiek, na ktorých boli nasledujúce čísla a matematické symboly matematická olympiáda výsledky. 18, 19, 20, 20, +, -, x, (, ) Pozn. 4 čísla a operátory plus, mínus, krát, ľavá zátvorka, pravá zátvorka. Kartičky ukladal tak, že vedľa - Z5–I–6 MO 2017
Na stole ležalo osem kartičiek s číslami 2,3,5,7,11,13,17,19. Fero si vybral tri kartičky. Sčítal na nich napísané čísla a zistil, že ich súčet je o 1 väčší ako súčet čísel na zvyšných kartičkách. Ktoré kartičky mohli zostať na stole? Určte všetky možnost
- Z9–I–4 MO 2017
Čísla 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 a 9 sa chystali na cestu vlakom s tromi vagónmi. Chceli sa rozsadiť tak, aby v každom vagóne sedeli tri čísla a najväčšie z každej trojice bolo rovné súčtu zvyšných dvoch. Sprievodca tvrdil, že to nie je problém, a snažil sa č - MO-Z6-I-2 2017
Erika chcela ponúknuť čokoládu svojim trom kamarátkam. Keď ju vytiahla z batohu, zistila, že je polámaná ako na obrázku. (Vyznačené štvorčeky sú navzájom zhodné. ) Dievčatá sa dohodli, že čokoládu ďalej lámať nebudú a lósom určia, aký veľký kúsok ktorá do - Z8–I–1 2017 milión
Vyjadrite číslo milión pomocou čísel obsahujúcich iba cifry 9 a algebrických operácií plus, mínus, krát, delené, mocnina a odmocnina. Určte aspoň tri rôzne riešenia.