Úžasné číslo
Úžasnými číslom nazveme také párne číslo, ktorého rozklad na súčin prvočísel má práve tri nie nutne rôzne činitele a súčet všetkých jeho deliteľov je rovný dvojnásobku tohto čísla. Nájdite všetky užasné čísla.
Správna odpoveď:
Zobrazujem 2 komentáre:
Mo-radca
Nápoveda. Koľko najviac deliteľov môže mať číslo, ktoré je súčinom troch nie nutne rôzných prvočísel?
Možné riešenie. Pretože úžasné číslo je párne, aspoň jeden z jeho prvočíselných deliteľom 2; zvyšné dva prvočíselne deliteľe označíme b a c. Úžasné číslo je teda presne súčinu 2bc.Všetky delitele takéhoto čísla sú 1, 2, b, c, 2b, 2c, bc, 2bc, pričom niektoré z týchto čísel sa môžu rovnať. Postupne preberieme všetky možnosť podľa počtu a typu rôznych prvočíselných deliteľov.
a) Predpokladajme, že všetky prvočíselne delitele sú rovnaké, teda b = c = 2. V takom prípade by úžasné číslo bolo 8 a všetci jeho delitele by boli 1, 2, 4, 8. Súčet všetkých deliteľov by bol 15, čo nie je dvojnásobok čísla 8. Prípad b = c = 2 teda nie je možný.
b) Predpokladajme, že dva prvočíselne delitele sú rovné 2, teda b = 2. V takom prípade by úžasné číslo bolo 4c a všetky jeho delitele by boli 1, 2, c, 4, 2c, 4c. Súčet všetkých dělitelov by bol 7 + 7c a podľa zadania má platit 7 + 7c = 8c.To platí práve vtedy, keď c = 7; zodpovedajúce úžasné číslo je 4c = 28.
c) Predpokladajme, že dvaja prvočíselne delitele sú rovnaké, avšak obaja rôzne od 2, teda b = c = 2. V takom prípade by úžasné číslo bolo 2b2 a všetci jeho delitele by boli 1, 2, b, 2b, b2 , 2b2. Súčet všetkých deliteľov by bol 3 + 3b + 3b2 a podľa zadania má platiť 3 + 3b + 3b2 = 4b2, 3 (1 + b) = b2. Číslo naľavo je násobkom čísla 3, teda číslo napravo má tiež byť násobkom 3. Vzhľadom k tomu, že b je prvočíslo, muselo by byť b = 3. V takom prípade by však naľavo bolo 3 · 4 = 12, zatiaľ čo napravo 3x2 = 9. Prípad b = c = 2 teda nie je možný.
d) Predpokladajme, že prvočíselne delitele sú navzájom rôzne, teda 2 = b = c = 2. V takom prípade by úžasné číslo bolo 2bc a všetky jeho delitele by boli 1, 2, b, c, 2b, 2c, bc, 2bc. Súčet všetkých deliteľov by bol 3 + 3b + 3c + 3bc a podľa zadania má platiť
3 + 3b + 3c + 3bc = 4bc, 3 (1 + b + c) = bc.
Číslo naľavo je násobkom čísla 3, teda číslo napravo má tiež byť násobkom 3. Vzhľadom k tomu, že bac sú prvočísla, muselo by byť buď b = 3, alebo c = 3. Pre b = 3 by predchádzajúca rovnosť vyzerala takto 3 · (4 + c) = 3c, čo však neplatí pre žiadne c. Diskusia pre c = 3je obdobná. Prípad b = c = 2 teda nie je možný.
Jediné úžasné číslo je 28.
Možné riešenie. Pretože úžasné číslo je párne, aspoň jeden z jeho prvočíselných deliteľom 2; zvyšné dva prvočíselne deliteľe označíme b a c. Úžasné číslo je teda presne súčinu 2bc.Všetky delitele takéhoto čísla sú 1, 2, b, c, 2b, 2c, bc, 2bc, pričom niektoré z týchto čísel sa môžu rovnať. Postupne preberieme všetky možnosť podľa počtu a typu rôznych prvočíselných deliteľov.
a) Predpokladajme, že všetky prvočíselne delitele sú rovnaké, teda b = c = 2. V takom prípade by úžasné číslo bolo 8 a všetci jeho delitele by boli 1, 2, 4, 8. Súčet všetkých deliteľov by bol 15, čo nie je dvojnásobok čísla 8. Prípad b = c = 2 teda nie je možný.
b) Predpokladajme, že dva prvočíselne delitele sú rovné 2, teda b = 2. V takom prípade by úžasné číslo bolo 4c a všetky jeho delitele by boli 1, 2, c, 4, 2c, 4c. Súčet všetkých dělitelov by bol 7 + 7c a podľa zadania má platit 7 + 7c = 8c.To platí práve vtedy, keď c = 7; zodpovedajúce úžasné číslo je 4c = 28.
c) Predpokladajme, že dvaja prvočíselne delitele sú rovnaké, avšak obaja rôzne od 2, teda b = c = 2. V takom prípade by úžasné číslo bolo 2b2 a všetci jeho delitele by boli 1, 2, b, 2b, b2 , 2b2. Súčet všetkých deliteľov by bol 3 + 3b + 3b2 a podľa zadania má platiť 3 + 3b + 3b2 = 4b2, 3 (1 + b) = b2. Číslo naľavo je násobkom čísla 3, teda číslo napravo má tiež byť násobkom 3. Vzhľadom k tomu, že b je prvočíslo, muselo by byť b = 3. V takom prípade by však naľavo bolo 3 · 4 = 12, zatiaľ čo napravo 3x2 = 9. Prípad b = c = 2 teda nie je možný.
d) Predpokladajme, že prvočíselne delitele sú navzájom rôzne, teda 2 = b = c = 2. V takom prípade by úžasné číslo bolo 2bc a všetky jeho delitele by boli 1, 2, b, c, 2b, 2c, bc, 2bc. Súčet všetkých deliteľov by bol 3 + 3b + 3c + 3bc a podľa zadania má platiť
3 + 3b + 3c + 3bc = 4bc, 3 (1 + b + c) = bc.
Číslo naľavo je násobkom čísla 3, teda číslo napravo má tiež byť násobkom 3. Vzhľadom k tomu, že bac sú prvočísla, muselo by byť buď b = 3, alebo c = 3. Pre b = 3 by predchádzajúca rovnosť vyzerala takto 3 · (4 + c) = 3c, čo však neplatí pre žiadne c. Diskusia pre c = 3je obdobná. Prípad b = c = 2 teda nie je možný.
Jediné úžasné číslo je 28.
8 rokov 1 Like
Na vyriešenie tejto úlohy sú potrebné tieto znalosti z matematiky:
Téma:
Úroveň náročnosti úlohy:
Odporúčame k tejto úlohe z matematiky si pozrieť toto výukové video: video1
Súvisiace a podobné príklady:
- Mo z5 2023 psy
Anetkin strýko má narodeniny v rovnaký deň v roku ako Anetkin teta. Strýko je starší ako teta, nie však o viac ako o desať rokov, a obaja sú plnoletí. Na poslednej oslave ich narodenín si Anetka uvedomila, že keď vynásobí ich oslavované veky a výsledný sú - Z6–I–4 MO 2021/22
Kuba si zapísal štvormiestne číslo, ktorého 2 číslice boli párne a dve nepárne. Pokiaľ by v tomto čísle vyškrtol obe párne číslice, dostal by číslo štyrikrát menšie, než keby v tom istom čísle vyškrtol obe nepárne číslice. Ktoré najväčšie číslo s týmito v - Slávkine čísla
Slávka si napísala farebnými fixkami štyri rôzne prirodzené čísla: červené, modré, zelené a žlté. Keď červené číslo vydelí modrým, dostane ako neúplný podiel zelené číslo a žlté predstavuje zvyšok po tomto delení. Keď vydelí modré číslo zeleným, vyjde jej - Dvojice
Určte všetky dvojice (m, n) prirodzených čísel, pre ktoré platí m s (n) = n s (m) = 70, kde s (a) značí ciferný súčet prirodzeného čísla a. - Z6 – I – 6 MO 2019
Majka skúmala viacciferné čísla, v ktorých sa po jednej striedajú nepárne a párne cifry. Tie, ktoré začínajú nepárnou cifrou, nazvala komické a tie, ktoré začínajú párnou cifrou, nazvala veselé. (Napr. Číslo 32387 je komické, číslo 4529 je veselé. ) Medzi - Z5–I–4 MO 2019
Vojto začal vypisovať do zošita číslo terajšieho školského roku 2019202020192020. . . A tak pokračoval stále ďalej. Keď napísal 2020 cifier, prestalo ho to baviť. Koľko tak napísal dvojok? - MO Z9-I-6 2019
Kristína zvolila isté nepárne prirodzené číslo deliteľné tromi. Jakub s Dávidom potom skúmali trojuholníky, ktoré majú obvod v milimetroch rovný Kristínou zvolenému číslu a ktorých strany majú dĺžky v milimetroch vyjadrené navzájom rôznymi celými číslami. - MO 2019 Z9–I–5
Majka skúmala viacciferné čísla, v ktorých sa po jednej striedajú nepárne a párne cifry. Tie, ktoré začínajú nepárnou cifrou, nazvala komické a tie, ktoré začínajú párnou cifrou, nazvala veselé. (Napr. Číslo 32387 je komické, číslo 4529 je veselé. ) Majka - Matik - KSM
V kuchárskej knihe od Mateja Matemakaka sa písalo: najväčší spoločný deliteľ gramáže múky a gramáže cukru je 15, najväčší spoločný deliteľ gramáže cukru a gramáže citrónovej kôry je 6, súčin gramáže cukru a gramáže citrónovej kôry je 1800, najmenší spoloč - Richardove čísla Z8-I-2 2019
Richard sa pohrával s dvoma päťcifernými číslami. Každé pozostávalo z navzájom rôznych cifier, ktoré pri jednom boli všetky nepárne a pri druhom všetky párne. Po chvíli zistil, že súčet týchto dvoch čísel začína dvojčíslím 11 a končí číslom 1 a že ich roz - MO Z8-I-2 2012
Číslo X je najmenšie také prirodzené číslo, ktorého polovica je deliteľná tromi, tretina deliteľná štyrmi, štvrtina deliteľná jedenástimi a jeho polovica dáva zvyšok 5 po delení siedmimi. Nájdite toto číslo. - MO C-I-3 2019
Určte všetky dvojice prirodzených čísel A a B, pre ktoré platí, že súčet dvojnásobku najmenšieho spoločného násobku a trojnásobku najväčšieho spoločného deliteľa prirodzených čísel A a B je rovný ich súčinu. - Z9–I–3 MO 2019
Pre ktoré celé čísla x je podiel (x+11)/(x+7) celým číslom. Riešení je údajne viac. - MO B 2019 - uloha 2
Prirodzené číslo n má aspoň 73 dvojciferných deliteľov. Dokážte, že jedným z nich je číslo 60. Uveďte tiež príklad čísla n, ktoré má práve 73 dvojciferných deliteľov, vrátane náležitého zdôvodnenia. - Šesťciferné prvočísla
Nájdite všetky šesťciferné prvočísla, ktoré obsahujú každú z číslic 1,2,4,5,7 a 8 práve raz. Koľko ich je? - Rok 2018
Súčin troch kladných čísel je 2018. Ktoré sú to čísla? - C – I – 6 MO 2018
Nájdite všetky trojciferné čísla n s tromi rôznymi nenulovými ciframi, ktoré sú deliteľné súčtom všetkých troch dvojciferných čísel, ktoré dostaneme, keď v pôvodnom čísle vyškrtneme vždy jednu cifru.