Mo - kružnice
Juro zostrojil štvorec ABCD so stranou 12 cm. Do tohto štvorca narysoval štvrťkružnicu k, ktorá mala stred v bode B a prechádzala bodom A, a polkružnicu l, ktorá mala stred v strede strany BC a prechádzala bodom B. Rád by ešte zostrojil kružnicu, ktorá by ležala vnútri štvorca a dotýkala sa štvrťkružnice k, polkružnice l aj strany AB. Určte polomer takej kružnice.
Správna odpoveď:
Zobrazujem 3 komentáre:
Mo-radce
Nápoveda. Premýšľajte, ako by ste pomocou polomeru hľadané kružnice vyjadrili vzdialenosť jej stredu od úsečky AB, príp. BC.
Možné riešenie. Počas riešenia sa odkazujeme na obrázok, v ktorom O značí stred strany BC, S značí stred Jurkovej vytúženej kružnice h, K značí dotykový bod kružníc h a k, L značí dotykový bod kružníc hala M značí dotykový bod kružnice ha úsečky AB. Ďalej budeme odkazovať na pomocný bod E, ktorý je pätou kolmice z bodu S na stranu BC. Hľadaný polomer kružnice h v cm označíme r.
Vzdialenosť bodu S od úsečky AB je rovná r = |SM| = |EB|. Vzdialenosť bodu S od úsečky BC je rovná veľkosti úsečky SA, ktorá je odvesnou ako v pravouhlom trojuholníku SEO, tak v trojuholníku SEB. Všetky ostatné strany v oboch trojuholníkoch ľahko vyjadríme pomocou r; odtiaľ pomocou Pytagorovej vety budeme vedieť určiť neznámu r.
Body S a O sú stredy kružníc h a l, ktoré sa dotýkajú v bode L. Tieto tri body ležia na jednej priamke, vzdialenosť SO je preto rovná.
|SO| = |SL| + |LO| = R + 6
Obdobne, vzdialenosť SB je rovná
|SB| = |BK | - |KS| = 12 - r
pretože S a O sú stredy kružníc haka K je ich dotykovým bodom. Vzdialenosť OE je rovná:
|OE| = |OB| - |BE| = 6 - r
Odtiaľ az Pytagorovej vety v trojuholníkoch SEO a SEB dostávame:
|SE|² = |SO|² - |OE|² = |SB|² - |BE|²
(6 + r)² - (6 - r)² = (12 - r)² - r²
12r + 12r = 144 - 24r,
48r = 144,
r = 3.
Polomer hľadanej kružnice je 3 cm
Možné riešenie. Počas riešenia sa odkazujeme na obrázok, v ktorom O značí stred strany BC, S značí stred Jurkovej vytúženej kružnice h, K značí dotykový bod kružníc h a k, L značí dotykový bod kružníc hala M značí dotykový bod kružnice ha úsečky AB. Ďalej budeme odkazovať na pomocný bod E, ktorý je pätou kolmice z bodu S na stranu BC. Hľadaný polomer kružnice h v cm označíme r.
Vzdialenosť bodu S od úsečky AB je rovná r = |SM| = |EB|. Vzdialenosť bodu S od úsečky BC je rovná veľkosti úsečky SA, ktorá je odvesnou ako v pravouhlom trojuholníku SEO, tak v trojuholníku SEB. Všetky ostatné strany v oboch trojuholníkoch ľahko vyjadríme pomocou r; odtiaľ pomocou Pytagorovej vety budeme vedieť určiť neznámu r.
Body S a O sú stredy kružníc h a l, ktoré sa dotýkajú v bode L. Tieto tri body ležia na jednej priamke, vzdialenosť SO je preto rovná.
|SO| = |SL| + |LO| = R + 6
Obdobne, vzdialenosť SB je rovná
|SB| = |BK | - |KS| = 12 - r
pretože S a O sú stredy kružníc haka K je ich dotykovým bodom. Vzdialenosť OE je rovná:
|OE| = |OB| - |BE| = 6 - r
Odtiaľ az Pytagorovej vety v trojuholníkoch SEO a SEB dostávame:
|SE|² = |SO|² - |OE|² = |SB|² - |BE|²
(6 + r)² - (6 - r)² = (12 - r)² - r²
12r + 12r = 144 - 24r,
48r = 144,
r = 3.
Polomer hľadanej kružnice je 3 cm
Tipy na súvisiace online kalkulačky
Pytagorova veta je základ výpočtov aj kalkulačky pravouhlého trojuholníka.
Na vyriešenie tejto úlohy sú potrebné tieto znalosti z matematiky:
Téma:
Úroveň náročnosti úlohy:
Súvisiace a podobné príklady:
- Z8 – I – 1 MO 2019
Zostrojte kosoštvorec ABCD tak, aby jeho uhlopriečka BD mala veľkosť 8 cm a vzdialenosť vrcholu B od priamky AD bola 5 cm. Určte všetky možnosti. - Z7-1-6 MO 2018
Daný je rovnoramenný pravouhlý trojuholník ABS so základňou AB. Na kružnici, ktorá má stred v bode S a prechádza bodmi A a B, leží bod C tak, že trojuholník ABC je rovnoramenný. Určte, koľko bodov C vyhovuje uvedeným podmienkam, a všetky také body zostroj - Z9 – I – 5 MO 2018
Peter a Ivan vytvárali dekorácie z navzájom zhodných bielych kruhov. Peter použil štyri kruhy, ktoré položil tak, že sa každý dotýkal dvoch iných kruhov. Medzi ne potom vložil iný kruh, ktorý sa dotýkal všetkých štyroch bielych kruhov, a ten vyfarbil červ - Z7–I–4 2018 MO Betka
Betka sa hrala s ozubenými kolesami, ktoré ukladala tak, ako je naznačené na obrázku. Keď potom zatočila jedným okolo, točili sa všetky ostatné. Nakoniec bola spokojná so súkolesím, pričom prvé koleso malo 32 a druhé 24 zubov. Keď sa tretie koleso otočilo - Z9-I-5 MO 2017 obdlžník
Vnútri obdlžníka ABCD ležia body M a N. Strana AB je 22 cm a kružnica opísaná trojuholníku AND má polomer 10cm a úsečky MA, MD, MN, NB a NC sú navzájom zhodné. Určite dĺžku strany BC. - Rovnoramenný - Z7–I–5
Je daný trojuholník ABC so stranami /AB/ = 3 cm, /BC/ = 10 cm a uhlom ABC = 120°. Narysujte všetky body X tak, aby platilo, že trojuholník BCX je rovnoramenný a súčasne trojuholník ABX je rovnoramenný so základňou AB. - Z9–I–6 MRAK
Je daná úsečka AB dĺžky 12 cm, na ktorej je jednou stranou položený štvorec MRAK so stranou dĺžky 2 cm, viď obrázok. MRAK sa postupne preklápa po úsečke AB, pričom bod R zanecháva na papieri stopu. Narysujte celú stopu bodu R, kým štvorec nezaobíde úsečku - Z9–I–3
Julke sa zakotúľala loptička do bazéna a plávala vo vode. Jej najvyšší bod bol 2 cm nad hladinou. Priemer kružnice, ktorú vyznačila hladina vody na povrchu loptičky, bol 8 cm. Určite priemer Julkynej loptičky. - Kruh - obsah kruhu
Vypočítaj obsah kruhu, ktorého polomer je 9 m. ( v metroch štvorcových ) - Dve tetivy
Dané sú dve úsečky rôznych dĺžok. Zostrojte kružnicu k tak, aby obe úsečky boli jej tetivami. - Tetiva - uhol
Je daná kružnica k so stredom v bode S a polomerom 6 cm. Vypočítaj veľkosť stredového uhla, ktorý patí tetive dlhej 10 cm. - Dve družnice
Zostroj 2 kružnice tak aby ich stredy boli od seba vzdialene 5 cm a: a-nemali spoločný dotyk b- mali spoločný bod c-mali 2 spoločné body - Daný je 9
Daný je rovnoramenný trojuholník, ktorého základňa je 8cm a ramená majú dĺžku 15 cm. Vypočítaj obsah trojuholníka a polomer vpísanej a opísanej kružnice. - Priklad – 8. rocnik (asi MO)
Adam napı́sal nasledujúci súčet s piatimi tajnými sčı́tancami: a + bb + ccc + dddd + eeeee. Prezradil, že znaky „a, b, c, d, e“ predstavujú navzájom rôzne cifry 1, 2, 3, 4, 5 a že výsledný súčet je deliteľný 11. Ktoré najmenšie a ktoré na - Vypočítajte 257
Vypočítajte súčet x-ových súradníc priesečníkov kružnice danej rovnicou (x - 1)²+ y² = 1 a priamky danej parametricky x = t, y = t , kde t∈R. - Na kruhovom 2
Na kruhovom ciferníku hodín navzájom pospájame body prislúchajúce číslam 2,5,9, čím vznikne trojuholník. Vypočítajte veľkosti všetkých vnútorných uhlov. - Kužeľ a polkruh
Ak je plášť kužeľa polkruh, potom priemer podstavy kužeľa je rovnaký ako dĺžka jeho strany. Dokážte.