Číselná os

V kocúrskovskej škole používajú zvláštne číselnú os. Vzdialenosť medzi číslami 1 a 2 je 1 cm, vzdialenosť medzi číslami 2 a 3 je 3 cm, medzi číslami 3 a 4 je 5 cm, a tak ďalej, vzdialenosť medzi nasledujúce dvojicou prirodzenými číslami sa vždy zväčší o 2 cm.

Medzi ktorými dvoma prirodzenými číslami je na kocúrskovskej číselnej osi vzdialenosť 39 cm?

Nájdi všetky možnosti.

Výsledok

n =  2

Riešenie:

6,9;20,21 n=26, 9; 20, 21 \ \\ n = 2



Naše príklady z veľkej miery nám poslali alebo vytvorili samotní žiaci a študenti. Preto budeme veľmi radi, ak prípadne chyby ktoré ste našli, pravopisné chyby alebo preštylizovanie príkladu nám prosím pošlete. Ďakujeme!





Napíšte nám komentár ku príkladu (úlohe) a jeho riešeniu (napríklad ak je stále niečo nejasné alebo máte iné riešenie, alebo príklad neviete vypočítať či riešenie je nesprávne...):

Zobrazujem 1 komentár:
#
Mo-radca
Nápoveda. Vypíšte si vzdialenosti medzi rôznymi trojicami čísel na kocúrkovskej  osi.

Možné riešenie.
Vzdialenosť 39 cm môže byť realizovaná medzi rôznymi dvojicami čísel. Budeme systematicky vypisovať vzdialenosti medzi niekoľkými prvými číslami kocúrkovskej osi. V nasledujúcej schéme je nad čiarou vypísané prvých 10 čísiel a pod čiarou skutočnej vzdialenosti (v cm) medzi rôznymi dvojicami týchto čísel - na prvom riadku pod čiarou sú postupne vzdialenosti medzi susednými číslami, na druhom riadku pod čiarou sú vzdialenosti medzi dvojicami čísel, ktoré sú ob jedno, atď. (Napr. 21 na treťom riadku pod čiarou značí skutočnú vzdialenosť medzi číslami 3 a 6 na kocúrkovskej  osi a je určené ako 5 + 7 + 9). Hviezdičkou sú označené zbytočne veľké čísla, ktorá nás nezaujímajú.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 3 5 7 9 11 13 15 17
4 8 12 16 20 24 28 32 36
9 15 21 27 33 39 * *
16 24 32 40 * * * *
25 35 45 * * * *
36 48 * * * * *
49 * * * * *

Ihneď vidíme (z tretieho riadku pod čiarou), že vzdialenosť 39 cm je medzi číslami 6 a 9 a že sa určite neobjavuje medzi číslami, ktoré sú na kocúrkovskej  osi viac ako ob dve (od štvrtého riadku pod čiarou). Vzdialenosť 39 cm sa určite tiež nemôže objavovať medzi číslami, ktoré sú ob jedno, pretože všetky tieto vzdialenosti sú párne (druhý riadok pod čiarou). Zostáva teda preskúmať vzdialenosti medzi susednými číslami (prvý riadok pod čiarou):
Postupnosť vzdialenosťou medzi susednými číslami môžeme vyjadriť ako
1, 3 = 1 + 2, 5 = 1 + 2 · 2, 7 = 1 + 2 · 3, 9 = 1 + 2 · 4,. . .
Všeobecne, vzdialenosť medzi i-tím a (i + 1) -ným číslom na kocúrkovskej  osi je rovná
1 + 2 (i - 1) = 2i - 1 (cm).
Táto vzdialenosť bude teda rovná 39 cm, práve keď i = 20. Vzdialenosť 39 cm na kocúrkovskej  číselnej osi je medzi dvojicami čísel 6, 9 a 20, 21.

Poznámky.

a) Záverečnou úvahy možno nahradiť vypísaním a spočítaním všetkých nepárnych čísel až po 39. Ak je výpočet úplný, je takéto riešenie správne.
b) Naopak úvodnej vypisovanie možno celé nahradiť úvahou, príp. výpočtom: Všetky vzdialenosti v tabuľke sú súčtom rôznych počtov nepárnych čísel, pričom tieto počty sú buď nepárne (pre susedné čísla a dvojica čísel, ktoré sú ob párny počet čísel), alebo párne (pre dvojice čísel, ktoré sú ob nepárny počet čísiel). Na jednotlivých riadkoch sa teda objavujú buď len nepárne, alebo iba párne čísla. Vzdialenosť 39 cm sa teda môže objavovať iba medzi susednými číslami a dvojicami, ktoré sú na kocúrkovskej  osi ob párny počet čísel.

Predchádzajúce vypisovanie postupnosti vzdialeností medzi susednými číslami má nasledujúce analógiu pre dvojice čísel, ktoré sú ob dve:
9, 15 = 9 + 6, 21 = 9 + 6 · 2, 27 = 9 + 6 · 3,. . .
Všeobecne, vzdialenosť medzi i-tím a (i + 3) -tým číslom na kocúrkovskej  osi je rovná 9 + 6 (i - 1) = 6i + 3 (cm).
Táto vzdialenosť bude teda rovná 39 cm, práve keď i = 6. Obdobne možno vyjadriť akúkoľvek inú vyššie vypisovanie postupnosť.
c) Riešenie úlohy možno zjednodušiť pomocou nasledujúceho poznatku: Súčet nepárneho počtu po sebe idúcich nepárnych čísel je rovný súčinu počtu týchto čísel a prostredného z nich. Zvedavým riešiteľom odporúčame tento poznatok zdôvodniť a riešenie domyslieť.
d) V uvedenej schéme si môžeme všimnúť, že všetky čísla v prvom šikmom stĺpci sú druhými mocninami prirodzených čísel. To nie je náhoda - všeobecne platí, že súčet prvých k po sebe idúcich nepárnych čísel je rovný k2. Zvedavým riešiteľom odporúčame porovnať toto tvrdenie s poznatkom v predchádzajúcej poznámke.

avatar









Na vyriešenie tejto úlohy sú potrebné tieto znalosti z matematiky:

Ďaľšie podobné príklady a úlohy:

  1. Vojaci
    regiment Je daná vzdialenosť trasy 147 km, prvý deň ide jeden oddiel cestu tam priemernou rýchlosťou 12 km/h a cestu späť 21 km/h, na druhý deň ide druhý oddiel tú istú trasu priemernou rýchlosťou 22 km/h tam aj späť. Ktorému oddielu bude cesta trvať dlhšie?
  2. Ručičky
    soviet_watch Hodiny ukazujú 12 hodín. Po koľkých minútach sa bude zvierania uhol medzi hodinovou a minútovou ručičkou 70°? Uvažujte kontinuálny pohyb oboch ručičiek hodín.
  3. Pohybovka3
    dragway Z Levíc do Martina ide auto rychlosťou 70 km/h. Z Martina do Levíc vyštartovalo auto rychlosťou 71 km/h súčasne. Koľko minút pred stretnutím budú auta od seba vzdialené 17 km?
  4. Záhrada
    garden_1 Rozloha štvorcovej záhrady tvorí 2/3 rozlohy záhrady tvaru trojuholníka so stranami 176 m 110 m a 110 m. Koľko metrov pletiva potrebujem na oplotenie štvorcovej záhrady?
  5. Robotníci
    forestry_workers V lese je zamestnaných 58 robotníkov sadením stromčekov. Pri 9 hodinovej práci denne by skončili prácu za 38 dní. Po 12 dňoch odíde 19 robotníkov. Za aký čas dokončíme sadenie stromčekové ostatní, keď od toho dňa budú pracovať 10 hodín denne?
  6. Prémia
    moeny Hrubá mzda zamestnanca bola 1390 EUR vrátane 29% prémie. Koľko EUR boli prémie?
  7. Výkop
    vykop_ryha Pán Emanuel si vypočítal, že výkop pre vodovodnú prípojku, vykope za 6 dní. Jeho kamarátovi by to trvalo 14 dní. 4 dni pracoval Emanuel sám. Potom mu prišiel kámoš pomôcť a kopal z druhého konca. Koľký deň od začiatku výkopových prác sa stretli?
  8. Opica
    monkey Do studne hlbokej 27 metrov spadla opica. Každý deň sa jej darí vyškriabať sa 3 metre, v noci však spadne späť o 2 metre. Na ktorý deň sa dostane opica zo studne?
  9. Diofantos
    diofantos_1 O tomto helénskom matematikovi z Alexandrie okrem toho, že žil okolo roku 250 pred Kristom, veľa nevieme. Vďaka jednému z jeho obdivovateľov, ktorý popísal jeho život pomocou algebraických hádaniek, vieme, akého se dožil veku. Diofantova mladosť trvala 1/
  10. Koreň
    root_quadrat Koreň rovnice ? je: ?
  11. Káva
    coffe Na sklade sú tri druhy značkové kávy v cenách: I. druh......166 Kc/kg II. druh......189 Kc/kg III. druh.....321 Kc/kg Zmiešaním týchto troch druhov v pomere 9:9:6 vytvoríme zmes. Aká bude cena 1100 gramov tejto zmesi?
  12. Pohyb
    cyclist_1 Ak pôjdeš rýchlosťou 4.4 km/h, prídeš na stanicu 45 minút po odchode vlaku. Ak pôjdeš na bicykli na stanicu rýchlosťou 13 km/h, prídeš na stanicu 30 minút pred odchodom vlaku. Ako ďaleko je vlaková stanica?
  13. Obchod
    pave Meter látky bol zľavnený o 2 USD. Teraz stojí 9 m látky rovnako ako predtým 8 m. Urči starú a novú cenu 1 m látky.
  14. Obdĺžnik
    rectangle_inscribed_circle Obdĺžnik je 45 cm dlhý a 24 cm široký. Urči polomer kružnice opísanej obdĺžniku.
  15. Kváder
    cuboid_1 Kváder má povrch 7467 cm2, dĺžky jeho hrán sú v pomere 2:4:1. Vypočítaj objem kvádra.
  16. Liek
    tablets Istý druh lieku vyrába viacero výrobcov v rôznych baleniach s rôznym obsahom účinnej látky. Balenie č.1: obsahuje 150 tabletiek po 600 mg účinnej látky, balenie za 78.75 Eur. Balenie č.2: obsahuje 200 tabletiek po 500 mg účinnej látky, balenie za 75 Eur..
  17. Bazén
    swimming-pool Bazén má rozmery dna 6 m a 9 m a výšku 195 cm. Koľko hektolitrov vody je v ňom, ak voda siaha 20 cm pod horný okraj bazéna?