Pán Cuketa
Pán Cuketa mal obdĺžnikovú záhradu, ktorej obvod bol 28 metrov. Obsah celej záhrady vyplnili práve štyri štvorcové záhony, ktorých rozmery v metroch boli vyjadrené celými číslami. Určite aké rozmery mohla mať záhrada. Nájdite všetky možnosti a zapíšte n ako počet riešení.
Správna odpoveď:
Zobrazujem 5 komentárov:
Peter2
Ťahák: Uvedomte si, že štvorce nemusia mať rovnaké rozmery.
Možné riešenie. Obvod 28 = 2 · 14 metrov možno pomocou kladných celých čísel vyjadriť len niekoľko málo spôsobmi. Postupne všetky preberieme a zistíme, či možno zodpovedajúce záhon rozdeliť na štyri štvorce s celočíselnými rozmermi:
• 28 = 2 · (13 + 1), v takom prípade potrebujeme 13 štvorcov
• 28 = 2 · (12 + 2), v takom prípade potrebujeme najmenej 6 štvorcov
• 28 = 2 · (11 + 3), v takom prípade potrebujeme najmenej 6 štvorcov
• 28 = 2 · (10 + 4), v takom prípade stačí 4 štvorce
• 28 = 2 · (9 + 5), v takom prípade potrebujeme najmenej 6 štvorcov
• 28 = 2 · (8 + 6), v takom prípade stačí 4 štvorce
• 28 = 2 · (7 + 7), v takom prípade by bol záhon štvorcový a nie obdĺžnikový.
Záhrada mohla mať rozmery 10 × 4 alebo 8 × 6 metrov.
Iné riešenie. Uvažujme, ako možno zložiť jeden obdĺžnik zo štyroch štvorcov (všeobecne rôznych celočíselných rozmerov). To možno urobiť iba nasledujúcimi spôsobmi:
Ak veľkosť strany najmenšieho štvorca v metroch označíme a, potom obvod obdĺžnika v jednotlivých prípadoch je:
• 2 · (4a + a) = 10a, čo nie je presne 28 pre žiadne celé a.
• 2 · (5a + 2a) = 14a, čo je presne 28, práve keď a = 2; obdĺžnik má v takom prípade rozmery 10 × 4 metrov.
• 2 · (5a + 3a) = 16a, čo nie je presne 28 pre žiadne celé a.
• 2 · (4a + 3a) = 14a, čo je presne 28, práve keď a = 2; obdĺžnik má v takom prípade rozmery 8 × 6 metrov.
Možné riešenie. Obvod 28 = 2 · 14 metrov možno pomocou kladných celých čísel vyjadriť len niekoľko málo spôsobmi. Postupne všetky preberieme a zistíme, či možno zodpovedajúce záhon rozdeliť na štyri štvorce s celočíselnými rozmermi:
• 28 = 2 · (13 + 1), v takom prípade potrebujeme 13 štvorcov
• 28 = 2 · (12 + 2), v takom prípade potrebujeme najmenej 6 štvorcov
• 28 = 2 · (11 + 3), v takom prípade potrebujeme najmenej 6 štvorcov
• 28 = 2 · (10 + 4), v takom prípade stačí 4 štvorce
• 28 = 2 · (9 + 5), v takom prípade potrebujeme najmenej 6 štvorcov
• 28 = 2 · (8 + 6), v takom prípade stačí 4 štvorce
• 28 = 2 · (7 + 7), v takom prípade by bol záhon štvorcový a nie obdĺžnikový.
Záhrada mohla mať rozmery 10 × 4 alebo 8 × 6 metrov.
Iné riešenie. Uvažujme, ako možno zložiť jeden obdĺžnik zo štyroch štvorcov (všeobecne rôznych celočíselných rozmerov). To možno urobiť iba nasledujúcimi spôsobmi:
Ak veľkosť strany najmenšieho štvorca v metroch označíme a, potom obvod obdĺžnika v jednotlivých prípadoch je:
• 2 · (4a + a) = 10a, čo nie je presne 28 pre žiadne celé a.
• 2 · (5a + 2a) = 14a, čo je presne 28, práve keď a = 2; obdĺžnik má v takom prípade rozmery 10 × 4 metrov.
• 2 · (5a + 3a) = 16a, čo nie je presne 28 pre žiadne celé a.
• 2 · (4a + 3a) = 14a, čo je presne 28, práve keď a = 2; obdĺžnik má v takom prípade rozmery 8 × 6 metrov.
Ivo
Ahoj Hana; no v prípade MO sa nejedná o ľahké príklady, ktorým musí rozumieť každý. Ale tým že toto riešenie (vlastne dve) budeš študovať možno aj týždne, sa niečo nové naučíš...
Na vyriešenie tejto úlohy sú potrebné tieto znalosti z matematiky:
Téma:
Úroveň náročnosti úlohy:
Súvisiace a podobné príklady:
- Štvoruholník 14
Daný je štvorec ABCD. Stred AB je E, stred BC je F, CD je G a stred DA je H. Spojíme AF, BG, CH a DE. Vo vnútri štvorca (približne v strede) priesečníky týchto úsečiek vytvoria štvoruholník. Vypočítajte obsah tohto štvoruholníka. Ďakujem - SKMO Z9 2022
Vrcholy štvorca ABCD spája lomená čiara DEFGHB. Menšie uhly pri vrcholoch E, F, G, H sú pravé a úsečky DE, EF, FG, GH, HB postupne merajú 6 cm, 4 cm, 4 cm, 1 cm, 2 cm. Určite obsah štvorca ABCD. - Z6–I–5 MO 2019
Útvar na obrázku vznikol tak, že z veľkého kríža bol vystrihnutý malý kríž. Každý z týchto krížov môže byť zložený z piatich zhodných štvorcov, pričom strany malých štvorcov sú polovičné vzhľadom na strany veľkých štvorcov. Obsah sivého útvaru je 45 cm². - Z6-I-6 MO 2018
V dvanásťuholníku ABCDEFGHIJKL sú každé dve susedné strany navzájom kolmé a všetky strany s výnimkou strán AL a GF sú navzájom zhodné. Strany AL a GF sú oproti ostatným stranám dvojnásobne dlhé. Úsečky BG a EL sa pretínajú v bode M a rozdeľujú dvanásťuhol - Z7–I–2 MO 2018
V dvanásťuholníku ABCDEFGHIJKL sú každé dve susedné strany navzájom kolmé a všetky strany s výnimkou strán AL a GF sú navzájom zhodné. Strany AL a GF sú oproti ostatným stranám dvojnásobne dlhé. Úsečky BG a EL sa pretínajú v bode M. Štvoruholník ABMJ má o - Z9 – I – 5 MO 2018
Peter a Ivan vytvárali dekorácie z navzájom zhodných bielych kruhov. Peter použil štyri kruhy, ktoré položil tak, že sa každý dotýkal dvoch iných kruhov. Medzi ne potom vložil iný kruh, ktorý sa dotýkal všetkých štyroch bielych kruhov, a ten vyfarbil červ - C–I–4 MO 2017
Určte najväčšie celé číslo n, pri ktorom možno štvorcovú tabuľku n × n zaplniť prirodzenými číslami od 1 po n² tak, aby v každej jej štvorcovej časti 3 × 3 bola zapísaná aspoň jedna druhá mocnina celého čísla - MO8-Z8-I-5 2017
Zhodné obdĺžniky ABCD a EFGH sú umiestnené tak, že ich zhodné strany sú rovnobežné. Body I, J, K, L, M a N sú priesečníky predĺžených strán ako na obrázku. Obsah obdĺžnika BNHM je 12 cm2, obsah obdĺžnika MBCK je 63 cm² a obsah obdĺžnika MLGH je - MO-I-Z6
Štvorec so stranou 4 cm je rozdelený na štvorčeky so stranou 1 cm ako na obrázku. Rozdeľte štvorec pozdĺž vyznačených čiar na dva útvary s obvodom 16 cm. Nájdite aspoň tri rôzne riešenia (tzn. také tri riešenia, aby žiadny útvar jedného riešenia nebol zho - MO-Z5-3-66
Na obrázku je štvorcová dlaždica so stranou dĺžky 10 dm, ktorá je zložená zo štyroch zhodných obdĺžnikov a malého štvorca. Obvod malého štvorca je päťkrát menší ako obvod celej dlaždice. Určte rozmery obdĺžnikov. - Z9–I–1
Vo všetkých deviatich poliach obrazca majú byť vyplnené prirodzené čísla tak, aby platilo: • každé z čísel 2, 4, 6 a 8 je použité aspoň raz, • štyri z polí vnútorného štvorca obsahujú súčiny čísel zo susediacich polí vonkajšieho štvorca, • v kruhu je súče - Z9–I–6 MRAK
Je daná úsečka AB dĺžky 12 cm, na ktorej je jednou stranou položený štvorec MRAK so stranou dĺžky 2 cm, viď obrázok. MRAK sa postupne preklápa po úsečke AB, pričom bod R zanecháva na papieri stopu. Narysujte celú stopu bodu R, kým štvorec nezaobíde úsečku - Šesťuholník nepravidelný
Na obrázku je štvorec ABCD, štvorec EFGD a obdĺžnik HIJD. Body J a G ležia na strane CD, pričom platí |DJ| < |DG| a body H a E ležia na strane DA, pričom platí /DH/ < /DE/. Ďalej vieme, že/DJ/ = /GC/. Šesťuholník ABCGFE má obvod 96 cm, šesťuholník E - Šesťuholníka 2340
Je štvorec ABCD, štvorec EFGD a obdĺžnik HIJD, body JG ležia na strane CD pričom platí DJ je menší ako DG a body HE ležia na strane DA, pričom platí DH je menšia ako DE, ďalej vieme že DJ sa rovná GC. Šesťuholník ABCGFE má obvod 96 cm, šesťuholník EFGJIH - Mo - kružnice
Juro zostrojil štvorec ABCD so stranou 12 cm. Do tohto štvorca narysoval štvrťkružnicu k, ktorá mala stred v bode B a prechádzala bodom A, a polkružnicu l, ktorá mala stred v strede strany BC a prechádzala bodom B. Rád by ešte zostrojil kružnicu, ktorá by - Utierky
Mamička vyprala štvorcové utierky a vešia je vedľa seba na šnúru natiahnutú medzi dvoma stromami. Použila šnúru s dĺžkou 7,5 metra, pričom na uviazanie okolo kmeňa potrebovala na každej strane 8 dm. Všetky utierky majú šírku 45 cm. Medzi krajné utierky a - Štvorcová sieť
Štvorcová sieť sa skladá zo štvorca so stranou dĺžky 1cm. Narysujte do nej aspoň tri rôzne obrazce také, aby každý mal obsah 6 cm² a obvod 12cm a aby ich strany splývali s priamkami siete.